Une proba de tirage sans remise à calculer

[guiguipelloq]

Voilà un petit problème qui me trotte dans la tête depuis la 1ère. Maintenant je suis en prépa HEC (ECS2) et j'ai établi un raisonnement qui me semble parfaitement juste mais dont le résultat me semble faux.
Voici le problème, simple.
On a un paquet de 40 cartes : 6 rouges, 8 bleues, 8 vertes, 18 noires (40 au total donc).
On en pioche 6. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une verte, et en même temps au moins une rouge, et une bleue ? (càd la proba d'obtenir une main dans laquelle il ne manque aucune couleur sauf, éventuellement, la couleur noire.)
Voici mon raisonnement validé par ma prof d'ECS1 : voici le lien. On obtient le résultat 0,328, qui semble en désaccord avec mon expérience empirique vécue.

Deux profs m'ont proposé un raisonnement différent, le voici :
Je note nCk l'entier naturel positif "k parmi n". Comme il y a équiprobabilité, calculons le nb de cas favorables
=(6C1)*(8C1)*(8C1)*(37C3)
soit le nb de possibilités pour choisir 1 carte parmi les 6 rouges, 1 parmi les 8 vertes et une parmi les 8 bleues et les 3 restantes parmi n'importe quelles autres cartes.
divisé par le nb de cas possibles
=(40C6).

Ce résultat est vraisemblable (c'est 0,777) mais il devient aberrant (proba > 1) lorsqu'on change juste un peu les données, par exemple en ajoutant une carte de chaque couleur. Il est aussi différent du premier.

Je ne vois aucune erreur de raisonnement dans aucun des deux raisonnements. Pourtant, un au moins est faux.
Quelqu'un pourrait-il m'aider ?

[LeJeu]

Deux profs m'ont proposé un raisonnement différent, le voici :
Je note nCk l'entier naturel positif "k parmi n". Comme il y a équiprobabilité, calculons le nb de cas favorables
=(6C1)*(8C1)*(8C1)*(37C3)
soit le nb de possibilités pour choisir 1 carte parmi les 6 rouges, 1 parmi les 8 vertes et une parmi les 8 bleues et les 3 restantes parmi n'importe quelles autres cartes.
divisé par le nb de cas possibles
=(40C6).

Ce résultat est vraisemblable (c'est 0,777) mais il devient aberrant (proba > 1) lorsqu'on change juste un peu les données, par exemple en ajoutant une carte de chaque couleur. Il est aussi différent du premier.

Je ne vois aucune erreur de raisonnement dans aucun des deux raisonnement. Pourtant, un au moins est faux.
Quelqu'un pourrait-il m'aider ?

Bon une proba >1 c'est pas cool

(6C1)*(8C1)*(8C1)*(37C3) / (40C6) = 6*8*8*7770 /3838380 = 0,777.....

en rajoutant une carte dans chaque couleur
(7C1)*(9C1)*(9C1)*(41C3) / (44C6)= 7*9*9*10660 /7059052 = 0,859....

ouf ca rassure !

[Anonyme]

@guiguipelloq

Le nombre de cas possibles d'avoir une main de 4 cartes avec au moins 1R et 1B et 1V est (d'après moi)
=(6C1)*(8C1)*(8C1) * 37
car la 4ième carte peut être n'importe laquelle des cartes restantes

L'événement contraire étant 0R ou 0B ou 0V , on peut (je pense) calculer la probabilité de cet événement avec un arbre de probabilité à 4 niveaux ( la couleur de la carte n°1 , puis celle de la n°2 , puis n°3 , puis n°4)

[LeJeu]

@guiguipelloq

Le nombre de cas possibles d'avoir une main de 4 cartes avec au moins 1R et 1B et 1V est (d'après moi)
=(6C1)*(8C1)*(8C1) * 37
car la 4ième carte peut être n'importe laquelle des cartes restantes

On pioche 6 cartes...

[guiguipelloq]

Merci de la réponse. Mais je ne suis pas rassuré pour autant car je me suis mal exprimé, je voulais dire on en rajoute une B, une V et une R en enlevant 3 N (on reste avec un paquet de 40 cartes).

[LeJeu]

Merci de la réponse. Mais je ne suis pas rassuré pour autant car je me suis mal exprimé, je voulais dire on en rajoute une B, une V et une R en enlevant 3 N (on reste avec un paquet de 40 cartes).

(7C1)*(9C1)*(9C1)*(37C3) / (40C6)= 7*9*9*7770/3838380= 1,147..

Ben comme ça on le sait : ci dessus n'est pas une proba !
On a donc déjà trouvé un raisonnement faux

On progresse

[guiguipelloq]

C'est sûr, mais il serait encore mieux de trouver pourquoi !
Et aussi, avec le premier raisonnement, je peux entrer les hypothèses que je veux et ça marche, sauf si je mets moins de cartes noires que de cartes piochées (ce qui n'est pas un problème dans l'expérience) car pour calculer P((X=0)inter(Y=0)inter(Z=0)), c'est nCr avec r= nb cartes piochées, et n= nb cartes noires (non de couleur).
Si r>n, ce calcul est impossible.

[LeJeu]

C'est sûr, mais il serait encore mieux de trouver pourquoi !

soit le nb de possibilités pour choisir 1 carte parmi les 6 rouges, 1 parmi les 8 vertes et une parmi les 8 bleues et les 3 restantes parmi n'importe quelles autres cartes.
divisé par le nb de cas possibles

Ne marche pas car on compte plusieurs fois la même chose

Exemple
2 jaune 1 noire : proba d'avoir au moins une jaune en tirant 2 boules ?

ton calcul donne 2C1 ( une parmi les jaunes)* 2C1 ( 1 parmi les 2 restantes) / 3C2 ( nombre de cas possibles)
soit 4/3 .....

en fait on a compté 2 fois le tirage JJ
car on a calculé J1 *( J2 +N) + J2 *(J +N)

donc la proba est (4-1 )/3
=1
ce qui est plus correct

[guiguipelloq]

Je vois bien, encore une fois, que le calcul est faux. Je comprends aussi pourquoi : avec ton expérience, le tirage JJ peut se produire de deux manières différentes dans le décompte de cas (2C1)*(2C1) : soit si J1 est tirée en premier soit en deuxième.
Il y a donc des cas comptés plus d'une fois dans le décompte ce qui fausse la proba quand elle est calculée comme cela.
Quand tu dis "c'est en fait (4-1)/3", c'est en retirant un cas (-1) du nb de cas favorables (qui était 4), celui du cas JJ compté une fois de trop ? D'accord, mais comment compter la totalité des cas surnuméraires pour notre exercice ?

J'ai clarifié le deuxième raisonnement, regarde à nouveau le 2ème topic, et dis-moi si tu vois une erreur.

[LeJeu]

Quand tu dis "c'est en fait (4-1)/3", c'est en retirant un cas (-1) du nb de cas favorables (qui était 4), celui du cas JJ compté une fois de trop ?

Oui

D'accord, mais comment compter la totalité des cas surnuméraires pour notre exercice ?

A l'instant non! je ne sais pas !

J'ai clarifié le deuxième raisonnement, regarde à nouveau le 2ème topic, et dis-moi si tu vois une erreur.

ça me semble correct, côté calcul je trouve 0,3276

On obtient le résultat 0,328, qui semble en désaccord avec mon expérience empirique vécue.

J'ai peu de vécu dans le tirage de boules , pourquoi tu ne le sens pas ?

[guiguipelloq]

Je ne le sens pas car, il y a un certain temps, j'avais fait plus d'une centaine d'essais, avec un logiciel de mélange de cartes (et pas de boules;) ). J'avais obtenu quelques chose dans les 0,6-0,7, en tout cas plus de 0,5, et bien plus de 0,3. Ça reste un faible nombre d'expériences, avec un logiciel de mélange qui pourrait être biaisé (ça s'est vu d'autres fois avec ce logiciel).
De même, j'ai aussi fait l'expérience plus d'une centaine de fois avec des cartes réelles cette fois et différents types de mélange, ce qui est ressortit de cela est aussi que la proba devrait être au moins supérieure à 0,5.
Ces deux expériences restent à faible valeur statistique, mais quand même, le résultat me chiffonne, en définitive.

Je pense que je vais essayer dans des cas plus simples mais similaires, pour pouvoir les confronter à l'expérience plus facilement. Tu connaîtrais un logiciel quelconque qui permettrait de simuler des expériences aléatoires ?
En tout cas, merci de l'investissement dont tu fais preuve pour mon raisonnement.

[fatal_error]

au pire tu les comptes...
tu décomposes le nombre de mains possibles:
221 signifie 2boules rouges, deux boules bleueues, 1 verte, et complétée par noire pour atteindre 6.
(plus les perm circulaires pour certaines combi)
Tu peux faire
111->6*8*8*(17C3)
211->6C2*8*8*(17C2)+2*[6*8C2*8]*(17C2)
221->2[6C2*8C2*8*17]+6*8C2*8C2*17
222->6*C2*8C2*8C2
311->....
321
411

le denom étant bien 40C6

[LeJeu]

Je ne le sens pas car, il y a un certain temps, j'avais fait plus d'une centaine d'essais,

Dammed !!
Tu savais donc calculer la proba et tu as merdé en faisant tes simulations.....
Je te condamne ( )donc à compter à la main 1000 tirages avec des vrais boules ! ca devrait te donner une première tendance

Bon, comme je te sens faiblir , j'ai fait le programme ......
et tester 10 millions de tirages

Code: Tout sélectionner

[FONT=Courier New][COLOR=magenta]#define ROUGE   6[/COLOR]
[COLOR=magenta]#define BLEU    8[/COLOR]
[COLOR=magenta]#define VERT    8[/COLOR]
#define TOTAL  40            [COLOR=Blue] // nb de boules dans le sac[/COLOR]

#define MAX (10*1000*1000)    [COLOR=Blue] // nb d'itérations[/COLOR]
#define NBB    6                 [COLOR=Blue]// nb de boules tirées[/COLOR]

void main(void)
{
    int tirage, boule;        [COLOR=Blue]// indices de boucles[/COLOR]
    int ok = 0;               [COLOR=Blue]// nombre de cas favorables[/COLOR]

    for ( tirage = 0; tirage  p = %lf\n",MAX , (double)ok /MAX);
}[/FONT]
 

et à la fin ...p=0,3276

Ceci dit, même avec quelques dizaines / centaines de tirages , tu aurais dû trouver quelque chose ressemblant genre 0,4 mais pas 0,7 ( qui n'est pas probable mais possible !)

[guiguipelloq]

Je te remercie beaucoup pour ce programme, je ne m'attendais pas à autant d'aide. Je ne sais pas vraiment comment m'en servir à nouveau (si c'est possible) parce que tout ce que je connaît en programmation, c'est le langage turbo Pascal, c'est le programme des prépas ECS. C'est assez complet, mais limité à ce langage. Je vais essayer de trouver un logiciel qui me permettrai de programmer dedans sur mon ordi, ça pourrait être utile.

En conclusion, je suis maintenant sûr du résultat, c'est parfait. Merci encore, et à une prochaine !