Une petite question

[HANNOUN]

Bonjour,
une petite question : Est-ce que S10 contient un élément d’ordre 30 ?

[Ben314]

Salut,
Petite question : c'est quoi S10 ?

Si c'est le groupe des permutations d'un ensemble à 10 éléments, alors la réponse à ta question est OUI et c'est trivial vu que 30=2x3x5=ppcm(2,3,5) avec 2+3+5 inférieur ou égal à 10.
Le tout c'est d'un peu réfléchir pour voir, si on te donne une permutation "un peu grosse" (par exemple sur 10 éléments), comment calculer rapidement son ordre.

[HANNOUN]

Merci beaucoup

[Ben314]

Et, sauf erreur, je pense que 30, c'est l'ordre maximal qu'on puisse avoir dans S10, c'est à dire le max des avec .

[tournesol]

Toute permutation de Sn est un produit de cycles à supports disjoints.
Des cycles à supports disjoints commutent.
L'ordre d'un cycle est le cardinal de son support.
L'ordre d'un produit de cycles qui commutent est le ppcm de leurs ordres.
Ce qui précède permet de démontrer la formule de Ben314

[GaBuZoMeu]

Bonjour,
"Des cycles à supports disjoints permutent."
Je dirais plutôt "commutent" (des permutations qui permutent, ce n'est pas un scoop ).

[Ben314]

Petite question du jour : et dans S1000 (groupe des permutations d'un ensemble à 1000 éléments), c'est combien l'ordre maximal d'un élément ?