Une petite question sur la continuité

[tilt77]

Bonjour
si on a :
|g(b)-g(a)| =< |f(b)-f(a)| quelque soit a et b plus grand stictement que 1
et f est derivable et continue sur ]1,+&[
peut on dire que g est continue sur cet interval???

[Nightmare]

Oui, pourquoi?

[tilt77]

parce que en lisant mon cours hier,j'ai lu l' inverse de cette proposition je voulais savoir si c'etait reciproque
ps : merci pour la reponse

[Nightmare]

Lorsque je posais la question "pourquoi?" c'était plutôt "et pourquoi d'après toi est-ce vrai?" :lol3:

[tilt77]

parce que g' existe pour tout point de ]1,+&[ donc g est derivable et donc continue
c'est ça?

[Ben314]

parce que g' existe pour tout point de ]1,+&[ donc g est derivable et donc continue

Comment pense tu montrer que g' existe ?

Pour te faire un peu réfléchir, considérons la fonction de R->R définie par :
g(x) est la distance de x à l'entier le plus proche de x.

Que peut tu dire de |g(b)-g(a)| ?
En quels points g est elle dérivable ?

[tilt77]

|g(b)-g(a)|<= 1 quelquesoit a et b appartenants a R
apres g est derivable en un point a si
H= lim (x--> a) de g(x)-g(a) / x-a existe
pour les point t= 0.5 +z (z appartient à Z) on a un probleme de derivabilité
lim( x--> t -)de H different lim(x-->t +) de H
donc g n'est pas derivable en ce point

et or de ce point t g'(x)=0

[tilt77]

c'est ça? :happy2:

[Ben314]

C'est "à peu prés ça" :
La fonction que je t'ai donnée est en "dent de scie" :

Si x est dans [n,n+1/2] (n entier) alors g(x)=x-n donc, sur ]n,n+1/2[ g est dérivable et g'(x)=1.
Si x est dans [n+1/2,n+1] (n entier) alors g(x)=n+1-x donc, sur ]n+1/2,n+1[ g est dérivable et g'(x)=-1.
La fonction g n'est pas dérivable en x=n ni en x=n+1/2

Effectivement, pour tout a,b dans R, on a bien |g(b)-g(a)|<=1 (et même que 1/2), mais on a aussi |g(b)-g(a)|<=|b-a| (et, lorsque a et b sont assez proches, c'est mieux comme majoration)
Cela signifie que lon a |g(b)-g(a)|<=|f(b)-f(a)| où la fonction f est donnée par f(x)=x qui est une fonction tout ce qu'il y a deplus dérivable.

Je voulais donc te donner un exemple où |g(b)-g(a)|<=|f(b)-f(a)| avec f dérivable partout mais g non dérivable partout. Cela signifie que partant de ton inégalité entre g et f, on a seulement l'implication :
"si f est continue alors g aussi"

[tilt77]

:we:
c'etait un bon exemple pour bien comprendre
merci