Une meilleure idée que la décomposition en éléments simples?

[acteon]

Bonjour,
soit à cacluler
par défaut j'ai posé t = racine de x pour se ramener à

puis décomposition en éléments simples.
Mais , sans être difficile, c'est un peu laborieux, et je me demande s'il n'y a pas mieux (le résultat final est assez simple: Pi/4 ...)
Merci à qui aura une idée originale!

[WillyCagnes]

bjr

je pense comme toi...il te faut decomposer en plusieurs fractions et integrer

voir la solution sur ce site

[url]www.wolframalpha.com/input/?i=int+from+0+to+infinity+1%2F%28%281%2Bx^0.5%29%281%2Bx^2%29%29[/url]

[Doraki]

Si tu fais le changement de variable x = 1/u,

ton intégrale devient

En renommant u en x et en additionnant les deux on trouve

[acteon]

Bien joué! comment as-tu eu l'idée?!
Merci aussi à Willy, et je ne connaissais pas ce site.

[Doraki]

J'ai eu l'idée en voyant que l'ensemble des pôles ("1",i,et -i), ainsi que l'ensemble d'intégration, sont stables par z -> 1/z,
et parceque vu le résultat après ton changement de variable en x=t², on a un morceau log(1+t) qui va devoir se compenser miraculeusement avec les autres logs (parceque l'intégrale converge alors que log(1+t) ça diverge en l'infini) pour seulement laisser du arctan. (mais j'ai pas poussé les calculs)

[acteon]

ok merci, oui je me rappelle d'une intégrale avec du ln où en posant x=1/t on avait I en fonction de I.
Merci et bien vu!