Une matrice récalcitrante

[Pythales]

Bonjour, et bonnes fêtes.

Un petit problème d'algèbre linéaire sur lequel j'aimerais avoir confirmation :
Soit entier . Pour tout polynome de on pose
a) Montrer que est un endomorphisme (évident)
b) Donner la matrice de dans la base canonique de : j'ai trouvé une matrice, mais au prix de calculs assez longs. Y a t-il une méthode simple pour ce genre de question ?
c) est-elle diagonalisable? Quelle est la dimension des sous espaces propres.
Sauf erreur, la matrice est triangulaire et a ses valeurs propres toutes distinctes.
d) En déduire les solutions polynomiales de
Je pense qu'il n'y en a qu'une.

Merci de vos remarques

[Pythales]

Bonjour, et bonnes fêtes.

Un petit problème d'algèbre linéaire sur lequel j'aimerais avoir confirmation :
Soit entier . Pour tout polynome de on pose
a) Montrer que est un endomorphisme (évident)
b) Donner la matrice de dans la base canonique de : j'ai trouvé une matrice, mais au prix de calculs assez longs. Y a t-il une méthode simple pour ce genre de question ?
c) est-elle diagonalisable? Quelle est la dimension des sous espaces propres.
Sauf erreur, la matrice est triangulaire et a ses valeurs propres toutes distinctes.
d) En déduire les solutions polynomiales de
Je pense qu'il n'y en a qu'une.

Merci de vos remarques

Personne n'a d'idée ?

C'est surtout la dernière question qui est importante.

Merci d'avance.

[leon1789]

a) Montrer que est un endomorphisme (évident)
b) Donner la matrice de dans la base canonique de : j'ai trouvé une matrice, mais au prix de calculs assez longs. Y a t-il une méthode simple pour ce genre de question ?
c) est-elle diagonalisable? Quelle est la dimension des sous espaces propres.
Sauf erreur, la matrice est triangulaire et a ses valeurs propres toutes distinctes.
d) En déduire les solutions polynomiales de
Je pense qu'il n'y en a qu'une.

a) ok
b) ben calculer les images des éléments de la base canonique, c'est très rapide.
c) "ses valeurs propres sont distinctes" c'est mal dit, car c'est toujours le cas (les éléments d'un ensemble sont toujours distincts). Ce que tu as voulu dire, c'est qu'il y a n valeurs propres (distinctes).
d) les solutions de l'équa diff dont les P tels que . Il y a donc une "droite" solution (dimension 1) : l'espace propre associé à -3, qui est ?....

[Pythales]

a) ok
b) ben calculer les images des éléments de la base canonique, c'est très rapide.
c) "ses valeurs propres sont distinctes" c'est mal dit, car c'est toujours le cas (les éléments d'un ensemble sont toujours distincts). Ce que tu as voulu dire, c'est qu'il y a n valeurs propres (distinctes).
d) les solutions de l'équa diff dont les P tels que . Il y a donc une "droite" solution (dimension 1) : l'espace propre associé à -3, qui est ?....

Merci
Peux-tu expliciter la dernière phrase ?
Je pense que la solution est

[leon1789]

Merci
Peux-tu expliciter la dernière phrase ?
Je pense que la solution est

oui il s'agit bien que tous les polynômes (qui sont tous proportionnels)