Une majoration d'une suite

[euler21]

Bonjour
On s'est proposé dans un exercice d'étudier la suite définie par
et
Dans une question il est demandé de démontrer que

seulement j'ai du mal à démontrer ce résultat et j'ai besoin d'aide
Merci d'avance

[barbu23]

Donc là, il faut proceder par recurrence ! Tu sais pourquoi ?
:happy3:

[euler21]

non je ne vois pas comment procéder même si on suppose que ceci n'amène à rien
j'ai besoin d'autres indices

[Ben314]

Salut,
Ca me parrait pas évident du tout...
Une solution (par récurrence double) :

en utilisant l'ypothèse de récurrence sur les deux "crans" précédents.
Il n'y a alors plus qu'à montrer que pour tout réel (ce qui n'est pas super super dur...)

[euler21]

ok merci maintenant c'est plus clair

[euler21]

bonjour
toujours à propos de cette suite dans la suite du problème on a posé la suite et et la suite on a montré que la suite avait pour limite 2 et donc avait pour limite 2/3 ( c'est un résultat préliminaire du problème) et puis que la suite est équivalente à
maintenant on pose et on demande de trouver un équivalent simple de cette suite
si quelqu'un a une idée sur cette équivalent ça serait génial
le calcul donne

après je ne sais pas comment procéder

[euler21]

personne n'a une idée ? :briques:

[Doraki]

est équivalent à 8n/3.
Calcule

[euler21]

le calcul donne

je pense que cette formule n'a pas d'équivalent

[Doraki]

... il faut peut-être remplacer par
Ah pardon j'ai mal écrit mon truc >_<

[euler21]

si on remplace on va trouver - et donc toujours une forme indéterminée

[Doraki]

Je croyais qu'on savait que vn= un - un-1 tendait vers 2/3.

[Ben314]

Dans le calcul demandé par Doraki :

est équivalent à 8n/3.
Puis il demande de calculer .
Il faut que tu commence par remplacer les par : le résultat devient... trés simple et tu en as immédiatement un équivalent qui permet de conclure.

[euler21]

Ah oui tu as raison !! donc ça résout le problème
on trouve donc l'équivalent
Merci infiniment

[euler21]

Bonjour
toujours à propos de cette suite on a posé après et on a demandé à donner un équivalent à la suite qui est égale à pour cela on a calculé qui est égale à et on a trouvé que est équivalente à puisque la suite est équivalente à
ensuite on a demandé à calculer la lim qui est nulle puisque lim
après on a demandé à calculer la limite de et de trouver un équivalent et c'est là où j'ai un problème. Je pense notamment que est équivalente à C*ln(n) où C est une constante seulement je n'arrive pas le prouver.
j'ai essayer d'utiliser la suite et la suite et de prouver que la suite admet une limite finie en utilisant notamment le résultat obtenu pour la suite le calcul de la suite donne et notamment j'ai un problème avec le premier terme de cette somme dont je n'arrive pas à prouver la nullité de la limite
votre aide sera le bienvenue et je m'excuse pour la longueur de ce message

[Doraki]

Moi j'ai plutôt que wn ~ -1/6n et pas -2/9n.

Si tu sais que bn + 2bn+1 ~ - ln(n)/6,

(bn/ln(n)) + 2(bn+1/ln(n+1)) = (bn + 2bn+1)/ln(n) + O(1/n)
donc
(bn/ln(n)) + 2(bn+1/ln(n+1)) = -1/6 + o(1)

Fondamentalement y'a pas de gros ennui en divisant par ln(n).
Si tu sais que bn/ln(n) a une limite alors c'est -1/18 mais il reste à le justifier

[euler21]

je confirme pour la suite qui effectivement équivalente à et donc le suite est équivalente à Pour la limite, je suis arrivée à faire la chose suivante:
on a
comme limite de est nulle et que tend vers - donc par opérations tend vers
- de plus alors limite de bn est -

[Doraki]

Ah oui, si bn+1 - bn tend vers 0, on peut simplement dire que beta_n = 3bn + o(1) ~ -(ln n)/6
donc 3bn ~ -(ln n)/6 (le o(1) est aussi un o(ln n))

[euler21]

oui tout à fait
Merci beaucoup Doraki :happy2: