Une limite pas du tout évidente

par **sue** » 30 Avr 2007, 09:37

Bonjour ,

lors de l'étude d'une fonction , je sèche totalement sur cette limite : limite qd

à l'origine il s'agit d'étudier la dérivabillité en 0 de la fct définie par :

et on demande de "vérifier" que :

et bien moi ce ''vérifier" me semble pas si évident avec les vielles méthodes de terminal !
(sans l'hopital)
j'ai pensé encore à un encadrement de ln mais je ne pense pas que c'est ce qui est attendu ! enfin il faut d'abord montrer cet encadrement :hein:

si vous voyez un astuce je suis preneuse :we:
merci

par **fahr451** » 30 Avr 2007, 10:54

bonjour

je pense qu'il n'est pas raisonnable de poser une question comme celle-ci sans indication quand on n'a pas étudié les développements limités.

par **cyberchand** » 30 Avr 2007, 12:13

Bonjour!

D'abord, cette question se résout en 2 secondes quand on connait les développements limités. Mais je crois que tu en es TS donc, exit les DL :we:

Mais j'ai trouvé une autre méthode, au cas où tu connaitrais le calcul intégral.
Dans l'expression

, commence par remplacer ln(x+1) par intégrale de 0 à x de dt/(1+t). Puis fais entrer le second terme dans l'intégrale. Ensuite, fais une intégration par parties (en dérivant le 1/(1+t)). Le premier terme que tu obtiens devrait de plaire, quand au second, tu devrais pouvoir le majorer facilement pour montrer qu'il tend vers 0 quand x tend vers 0.

Demande moi d'expliciter si ce n'est pas assez clair !!

par **fahr451** » 30 Avr 2007, 13:12

et on attend ça d'un élève de terminales?

par **sue** » 30 Avr 2007, 13:43

non fahr je ne pense pas :triste:

sinon , merci bien cyberchand , j'ai bien compris ta méthode :we:
mais je ne peux pas y arriver toute seule !

par **geraliva257** » 30 Avr 2007, 15:36

J Pense Ke La Methode De Fahr Est Un Ptit Peu Komplikee

par **fahr451** » 30 Avr 2007, 15:51

geraliva257 a écrit:J Pense Ke La Methode De Fahr Est Un Ptit Peu Komplikee

c'est fort possible mais pour l'instant je n 'en ai pas donné

par **cyberchand** » 30 Avr 2007, 16:24

Bah il faut bien t'entrainer si tu veux faire prépa... :zen:

Sinon y a effectivement plus simple : ln(1+x) = x - x^2/2 + o(x^2), et le résultat en découle immédiatement. :id:
Mais évidemment pour ça il faut la formule de Taylor Young à l'ordre 2... qui se démontre par une intégration par parties ! :we:

Sinon on peut peut-être le montrer avec une étude de fonction du genre ln(1+x) - x + x^2/2, étudier les variations, et trouver une majoration de f'(x) + 1/2 au voisinage de 0.....
M'enfin bon, le plus simple c'est quand même avec la formule de Taylor à l'ordre 2. Et ne me dites pas que c'est trop compliqué pour la terminale, c'est rien d'autre qu'une malheureuse intégration par parties ! :happy2:

par **fahr451** » 30 Avr 2007, 16:31

cyberchand a écrit:Bah il faut bien t'entrainer si tu veux faire prépa... :zen:

Sinon y a effectivement plus simple : ln(1+x) = x - x^2/2 + o(x^2), et le résultat en découle immédiatement. :id:
Mais évidemment pour ça il faut la formule de Taylor Young à l'ordre 2... qui se démontre par une intégration par parties ! :we:

Sinon on peut peut-être le montrer avec une étude de fonction du genre ln(1+x) - x + x^2/2, étudier les variations, et trouver une majoration de f'(x) + 1/2 au voisinage de 0.....
M'enfin bon, le plus simple c'est quand même avec la formule de Taylor à l'ordre 2. Et ne me dites pas que c'est trop compliqué pour la terminale, c'est rien d'autre qu'une malheureuse intégration par parties ! :happy2:

il ne s'agit pas de savoir si c'est simple ou compliqué il s'agit de savoir si un élève va aller inventer seul une formule de taylor

par **sue** » 01 Mai 2007, 00:48

euh tt à fait d'accord avec fahr
je ne pense pas que ce taylor s'est cassé la tête pour que j'arrive moi en deux minutes et réinventer sa formule ! :triste:

s'il s'agit de plus simple , il me semble que l'hopital l'emporte , mais c'est pas au programme !

par **mathelot** » 01 Mai 2007, 22:10

en posant

d'où:

par **cyberchand** » 01 Mai 2007, 23:58

Euh il y a une interversion limite-intégrale à justifier là...

par **sue** » 02 Mai 2007, 08:45

justement . je ne comprend pas ta dernière ligne mathelot .
à ma connaissance , la seule chose qui relie limites et intégrales c'est Reiman , mais aucun rapport avec ce que tu as fait me semble !

j'aimerais plus de précision stp !
merci

par **cyberchand** » 02 Mai 2007, 10:11

Il y a des règles pour justifier l'interversion entre une limite de fonctions et une intégrale. Si on a une suite de fonctions fn qui tend vers f, alors intégrale de fn ne tend vers f que sous certaines conditions. Mais c'est largement hors programme en TS, et même en sup.

par **alben** » 02 Mai 2007, 10:35

En partant de ce qu'a fait mathelot :

et en remarquant que

On tire

Dans la deuxième intégrale, le diviseur est plus grand que 1 et la valeur de la fonction sera donc inférieure à u², donc l'intégrale plus petite que 1/3.
Il reste donc

avec 0<I<1/3
Lorsque x tend vers zéro, il ne reste que le premier terme

par **yos** » 02 Mai 2007, 13:10

Bonjour.
Parmi les méthodes niveau TS, on peut montrer au préalable l'encadrement

pour

. C'est immédiat en étudiant deux fonctions. Pour la limite à gauche en 0, il faut recommencer.

par **sue** » 02 Mai 2007, 17:30

Alben a écrit:fonction sera donc inférieure à u², donc l'intégrale plus petite que 1/3.

pourquoi 1/3 ?

par **alben** » 02 Mai 2007, 17:47

Parce que

par **sue** » 02 Mai 2007, 17:54

ok ok :marteau:

c'est une trés jolie méthode !
merci bien alben .

sinon Yos , j'y ai pensé mais je me suis dit surement y a plus direct , en tt cas me semble pas logique de faire toute une étude de fcts por calculer une limite . En plus faut trouver le bon encadrement et c'est pas tj évident !

par **B_J** » 02 Mai 2007, 18:55

Bonjour ;
on peut adapter la demonstration de la regle de l'hopital
on pose :
h_x(t)=f(x)g(t)-f(t)g(x) avec f(x)=ln(1+x)-x et g(x)=x²
alors h_x(0)=h_x(x)=0
et on conclut en appliquant Rolle

Une limite pas du tout évidente

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