Soit f une fonction de
:hein:
Une limite infinie
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Une limite infinie
par AceVentura » 06 Mar 2010, 14:50
Un petit exercice qui me laisse sans voix :
Soit f une fonction de
dans de classe 
telle que }(x)>0)
(*). Montrer que }{x^n}\rightarrow_{x\to +\infty} +\infty)
.
:hein:
Soit f une fonction de
:hein:
par Nightmare » 06 Mar 2010, 15:09
Salut !
Si tu as vu les séries entières, f est développable autour de 0 en série entière de rayon de convergence infini.
Si tu n'as pas vu ce résultat, on peut contourner les mots en écrivant le développement de Taylor (avec reste intégrale) de f.
Si tu as vu les séries entières, f est développable autour de 0 en série entière de rayon de convergence infini.
Si tu n'as pas vu ce résultat, on peut contourner les mots en écrivant le développement de Taylor (avec reste intégrale) de f.
par AceVentura » 06 Mar 2010, 15:32
Faisons les deux !
}{x^n}=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k-n})
On va pouvoir permuter ?
}(0)}{k!}x^{k-n}=\sum_{k=0}^{+\infty}\lim_{x\to +\infty}\,\,\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k-n})
Pour Taylor-Young :
=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k+o(x^n))
et donc }{x^n}=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k-n}+\frac{o(x^n)}{x^n})
Et le petit o quotienté}{x^n})
tend-t-il vers 0 ?
On va pouvoir permuter ?
Pour Taylor-Young :
Et le petit o quotienté
par ffpower » 06 Mar 2010, 15:49
Taylor avec reste intégral qu'il a dit le monsieur, pas Taylor Young :lol3:
par AceVentura » 06 Mar 2010, 15:55
Ok !
Après changement de variable dans l'intégrale :
= f(0) + \sum_{k=1}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k + \frac{x^{n+1}}{n!}\int_0^1 \frac{(1-u)^n}{n!}f^{(n+1)}(ux)du)
Donc :
}{x^n} = \frac{f(0)}{x^n} + \sum_{k=1}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k-n} + \frac{x}{n!}\int_0^1 \frac{(1-u)^n}{n!}f^{(n+1)}(ux)du)
Les deux premiers termes tendent vers 0.
Il faut prouver que le dernier aussi ? Oui, mais je vois pas :/
Après changement de variable dans l'intégrale :
Donc :
Les deux premiers termes tendent vers 0.
Il faut prouver que le dernier aussi ? Oui, mais je vois pas :/
par Ben314 » 06 Mar 2010, 16:25
Tu veux montrer que ça tend vers 0 ou vers l'infini ? (dans le premier cas, c'est foutu, vu que c'est faux...)
Ensuite, quand tu regarde la "logique" de tout les Taylors-?, le "terme d'erreur", on le domine pas trop. Par exemple ici, à par de dire qu'il est positif, c'est pas évident de dire autre chose.
Il vaut souvent mieux compter sur les termes précédents.
Qu'est ce que ça te donnerais si tu était parti du D.V. à l'ordre, disont par exemple n+1 ?
(ou, ce qui revient exactement au même, si tu avait divisé par x^(n-1) au lieu de diviser par x^n ?)
Ensuite, quand tu regarde la "logique" de tout les Taylors-?, le "terme d'erreur", on le domine pas trop. Par exemple ici, à par de dire qu'il est positif, c'est pas évident de dire autre chose.
Il vaut souvent mieux compter sur les termes précédents.
Qu'est ce que ça te donnerais si tu était parti du D.V. à l'ordre, disont par exemple n+1 ?
(ou, ce qui revient exactement au même, si tu avait divisé par x^(n-1) au lieu de diviser par x^n ?)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par AceVentura » 06 Mar 2010, 16:36
Euh :
= f(0) + \sum_{k=1}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k + \frac{f^{(n+1)}(0)}{(n+1)!}x^{n+1} + \frac{x^{n+2}}{(n+1)!}\int_0^1 (1-u)^{(n+1)} f^{(n+2)}(ux)du)
Et donc :
}{x^n}= \frac{f(0)}{x^n} + \sum_{k=1}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k-n} + \frac{f^{(n+1)}(0)}{(n+1)!}x + \frac{x^{2}}{(n+1)!}\int_0^1 (1-u)^{(n+1)} f^{(n+2)}(ux)du)
Donc les deux premiers termes après l'égalité tendent vers 0, le troisième lui vers l'infini. Quand à l'intégrale, je ne vois pas trop quoi en faire
Et donc :
Donc les deux premiers termes après l'égalité tendent vers 0, le troisième lui vers l'infini. Quand à l'intégrale, je ne vois pas trop quoi en faire
par Ben314 » 06 Mar 2010, 16:56
Au niveau "formel", le dernier terme de la somme, il tend pas vers 0, il est constant (ce qui change pas grand chose)
Aprés, l'intégralle, tu te raproche par derrière (sans faire de bruit) et tu lui fait BOUHHH, normalement, elle s'écrie "me tuez pas, me tuez pas, je suis positive, je fait rien de mal, me tuez pas..." :marteau:
Aprés, l'intégralle, tu te raproche par derrière (sans faire de bruit) et tu lui fait BOUHHH, normalement, elle s'écrie "me tuez pas, me tuez pas, je suis positive, je fait rien de mal, me tuez pas..." :marteau:
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par AceVentura » 06 Mar 2010, 17:43
J'espère que c'est correct !
Dans le même genre, on me demande de montrer que la fonction=f(x)-f(0)-\sum_{k=1}^n\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k)
(avec f vérifiant (*)) est telle que }{x^n})
tend vers 0 lorsque x tend vers 0 par valeurs positives.
Ce coup-ci, le reste intégral me semble ne pas fonctionner car :
=x^{n+1}\int_0^1\frac{(1-u)^n}{n!}f^{(n+1)}(ux)du)
Donc :
}{x^n}=x\int_0^1\frac{(1-u)^n}{n!}f^{(n+1)}(ux)du)
Et on ne sais pas contrôler l'intégrale.
Par contre, avec Taylor-Young, j'ai :
}{x^n}=\frac{o(x^n)}{x^n})
Et cela tend bien vers 0 lorsque x tend vers 0 par valeurs supérieurs ?
Dans le même genre, on me demande de montrer que la fonction
Ce coup-ci, le reste intégral me semble ne pas fonctionner car :
Donc :
Et on ne sais pas contrôler l'intégrale.
Par contre, avec Taylor-Young, j'ai :
Et cela tend bien vers 0 lorsque x tend vers 0 par valeurs supérieurs ?
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