Une limite avec une fonction injective.

[Agouraptor]

Bonjour. Je bloque depuis quelques jours sur un problème. Si quelqu'un aurait juste une piste de départ que je pourrais creuser, ce serait sympa . Merci en avance de vos réponses.

Exercice :

Soit une fonction injective. Montrer que :

[mathelot]

bonsoir,

Bonjour. Je bloque depuis quelques jours sur un problème. Si quelqu'un avait juste une piste de départ que je puisse creuser, ce serait sympa . Merci en avance de vos réponses.

Après Si , on ne met pas le conditionnel

l'idée est de minorer cette série par une série en 1/n (on sait que la série harmonique diverge vers )
on sait que

Lemme: comment minorer la somme f(1)+f(2)+...+f(k) ?

sommation d'Abel:
la sommation d'Abel est utilisée pour l'étude des séries alternées. on va l'utiliser ici:

on pose pour k entier naturel strictement positif

réécrire la série avec l'aide de la sommation d'Abel.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Sommation_par_parties

en déduire une minoration de la série.

en déduire qu'elle diverge.

[mathelot]

rebonjour,
on pose , pour :


On a la minoration suivante:


On peut voir cette minoration en dessinant les images f(i) , de coordonnées entières, sur un axe gradué et on minore la somme en "tassant vers la gauche " toutes les images à partir de 1, sur l'axe gradué.

On pose





en minorant par





or quand k tend vers l'infini.

Donc la série est divergente vers

[Agouraptor]

Merci beaucoup pour ta réponse ! Bien vu pour la transformation d'Abel, je n'y aurai pas pensé !