Une intégrale

[Dacu]

Bonsoir à tous,

Soit où la fonction est continue et dérivable au moins sur l'intervalle d'intégration et les dérivés de la fonction .Montrer que .

Cordialement,

Dacu

[anthony_unac]

Bonjour Dacu,
Ce problème est intéressant et vu qu'il laisse sans voix, je te laisse nous donner quelques pistes de réflexions. A première vue, j'aurais envie de scinder en trois petites intégrales dont la dernière manifestement vaut .
Concernant la forme globale de , elle rappelle une identité remarquable.

[GaBuZoMeu]

Le résultat est évidemment faux.

[anthony_unac]

On changerait donc d'exercice en cherchant à prouver la fausseté de la proposition de Dacu ?! Un "simple" contre exemple suffirait à faire plier l'édifice.

[GaBuZoMeu]

Où ça un édifice ?

[tournesol]

Si f est analytique au voisinage de 0 , alors f(x)=e^x et l'intégrale vaut environ 9,631 , valeur tres proche de 2891/300=9,6366...

[tournesol]

cette intégrale n'est pas bornee
un contre exemple est

[anthony_unac]

Si f est analytique au voisinage de 0 , alors f(x)=e^x et l'intégrale vaut environ 9,631 , valeur tres proche de 2891/300=9,6366...

Bon je crois que là on est loin du compte tournesol même si on joue avec les logiciels donnant une forme close à partir d'une estimation numérique (9.631 est trop éloigné de 9.6366)

[anthony_unac]

cette intégrale n'est pas bornee
un contre exemple est

là par contre j'apprécie l'idée car effectivement e^x se plie bien aux donnés de l'exercice.

[mathelot]

bonsoir,
l'intégrale I est définie car les fonctions continues sont Riemann-intégrables.

[tournesol]

Cette intégrale n'est pas bornée en tant que fonction de f .

[mathelot]

ah oui,d'accord;et si l'on rajoute l'hypothèse "f analytique sur [0,1]" ?

[GaBuZoMeu]

La seule fonction analytique sur un intervalle ouvert contenant dont le développement de Taylor à l'origine est est .
L'hypothèse d'analyticité ne figurait pas dans l'énoncé de Dacu. La connaissance des dérivées successives en 0 ne donne alors aucun renseignement sur le comportement de en dehors d'un voisinage de 0 : on peut prendre par exemple une fonction qui vaut identiquement 0 sur , identiquement sur et est positive entre les deux.

[tournesol]

Bonjour mathelot
si f est analytique , alors f est la fonction exponentielle .
dans mon contre exemple , mes fonctions f ne sont pas analytiques. En faisant tendre k vers + l'infini on montre que la famille des intégrales correspondantes n'est pas bornée .

[tournesol]

Bonjour GaBuZoMeu , nos messages se sont croisés .

[tournesol]

GaBuZoMeu , ta fonction nulle ne verifieras pas les conditions des dérivees sucessecives .

[GaBuZoMeu]

Oui, bien sûr. Il faut prendre la fonction en question.

[Dacu]

Bonjour à tous,

J'ai essayé en considérant que la fonction peut être écrite comme une série Maclaurin et ainsi j'ai résolu le problème ...Mon raisonnement est-il correct?Merci beaucoup!

Cordialement,

Dacu