Une infinité d'inverses ?

[benekire2]

Bonjour,

Soit A un anneau non nécessairement commutatif.

Montrer que si x, élément de A admet deux inverses à droite (pour la seconde loi) alors il en admet une infinité.

L'exercice ne doit pas être difficile en soi mais je ne vois pas comment faire.

Je vous remercie !

[Nightmare]

Salut,

Soient a et b tels que ax=bx=1. Si je considère c une autre inverse à droite de x, on remarque que a(xa+c-1)=1, autrement dit que xa+c-1 est une autre inverse de a.

Si je note et , alors l'application est une bijection.

Dans ce cas, si X est fini, que dire?

[benekire2]

Salut nightmare, merci de ta réponse ,

Je pense que si on considère X fini, comme cette application nous donne à chaque fois un nouvel inverse, on va finir par "boucler" a un moment et donc avoir l'égalité y=xa+c-1 pour certains x,y€X

Finalement, cette application n'est qu'une permutation de X mais je ne vois toujours pas comment trouver ma contradiction, et je ne vois pas ce que je peut tirer de l'équation que j'ai trouvée.

[Nightmare]

C'est ça. Je t'ai fait remarqué que et comme on a exhibé une bijection entre les deux, sachant que l'un des deux est fini, ils sont alors égaux. Du coup, c est lui même dans Y, ie c=xa+c-1 pour un certain x, et donc xa=1. Donc a est inversible à gauche et à droite.

[benekire2]

Re,

Mais rien n'empêche a priori dans l'énoncé que a soit inversible a gauche et a droite .. je dois louper quelque chose , :doh:

[Nightmare]

Salut,

si a est inversible à gauche et à droite, il est clair qu'il n'admet forcément qu'une seule inverse !

[benekire2]

Oui ,t'as raison , c'est bête ...

Cela dit , j'ai pas d'exmple en tête avec un anneau dont les éléments ont une infinité d'inverses a droite ..

Merci beaucoup night :we:

[Nightmare]

Bon j'ai pas plus simple en tête :

On prend l'anneau sur lequel on considère la dérivation .

Je considère aussi les application

Alors, toutes les sont des inverses à droite de d.

Tiens, peux-tu me montrer dans cet exemple que d n'est pas inversible à gauche?

[benekire2]

PAs de problème , je le ferais ce soir ( et je posterais en principe ! )

[Nightmare]

Je remarque de plus en plus ta fâcheuse tendance à la procrastination ! :lol3:

[benekire2]

Oui en effet tu as raison :triste: je suis un flemmard ...
Mais je le ferrais quand même !! ( Parce que j'adore tes exos ! ) :zen:

[benekire2]

Cela dit en regardant tes inverses a droites, j'ai un problème , La loi est ici la composition puisque on est avec des applications, et le neutre est l'indentité.

Or d o f_k ne fait pas Id . Il y a pas un problème quelque part ?

[Nightmare]

On ne veut pas que dofk=X mais que dofk=Id et c'est bien le cas !

[benekire2]

On ne veut pas que dofk=X mais que dofk=Id et c'est bien le cas !

Oui pardon, ID non pas X, mais ça change rien a mon problème
si je prend P=X clairement P'=1 et donc l'application f_10 renvoie X+10

[Nightmare]

Non, f10 renvoie 1/2 X² + 10 dont la dérivée fait bien X !

[benekire2]

Alors a moins que je dise n'importe quoi, mais alors totalement, là c'est plutôt f_k o d qui fait Id et donc les f_k sont inverses à gauche et il n'y a pas d'inverses à droite.

[Nightmare]

Je confirme, sans méchanceté, que tu dis bien n'importe quoi :lol2:

Si , donc donc on a bien

:happy3:

[benekire2]

Pour le montrer, qu'il n'y a pas d'inverses de d à gauche on observe que par exemple il faudrait trouver une application qui envoie 2X sur X²+1 et sur X²+3 à la fois ( car (X²+3)'=2X=(²X+1)') , or on ne connait pas d'application "ninja" de la sorte.

Et effectivement, je me rend compte que je disais n'importe quoi, et d'ailleurs je ne sais même pas pourquoi.

PS. Honte a moi, j'ai composé "à l'envers "

[Nightmare]

Par définition, si d est inversible à droite, elle est injective. Mais d(1)=0 !