Une histoire de milieu

[Nightmare]

Salut à tous :happy3:

La résolution d'un exo du forum aujourd'hui m'a fait pensé à un autre exercice plus général et ma foi très intéressant que je vous soumets, si vous vous ennuyez. C'est niveau sup je pense.

On considère un graphe G d'une fonction continue f (de [a,b] dans R)

On suppose que pour tout point M de G d'abscisse x, il existe deux points P et Q de G d'abscisses respectives x-c et x+c tels que M soit le milieu de [PQ].

Que dire de G?

Amusez-vous bien

:happy3:

[Ericovitchi]

il y a des chances pour que ça implique que f soit une droite.

reste à le démontrer. :--:

[Nightmare]

Connaitre le résultat est déjà souvent un bon début de démonstration :lol3:

[Nightmare]

Pas d'idées?

[girdav]

Le en question dépend du point ?
Sinon on peut écrire que satisfait à l'équation fonctionnelle

[Nightmare]

Oui, c dépend bien de x !

[Nightmare]

Une méthode consiste à étudier la convexité de f!

[beagle]

ton inspiration ne viendrait pas de l'exo de Mathelot où il fallait montrer que deux parallèles de mème distance à une troisième dans le demiplan étaient confondus?
Si les deux droites n'étaient pas confondus il y avait deux points distincts à la mème distance, comme dans un virage,il aurait fallu que les droites se courbent,
ici tu nous delmande l'inverse, ce ne sont pas des virages mais des parallèles droites,
c'est pas courbe car la constante ne change pas d'axe?

[Nightmare]

Salut !

Non mon inspiration venait d'un simple exercice sur les hyperboles !

Je ne vois pas trop le rapprochement avec cet exercice en fait, cela dit si tu veux compléter ta pensée, peut être que ça mènerait. D'ailleurs je serai très intéressé par une preuve géométrique de ce résultat, je n'en ai pas trouvée.

[Doraki]

On peut supposer que f(a)=f(b)=0 quitte à ajouter une fonction affine.
Il faut alors montrer que f est nulle.
C'est pas très très dur par l'absurde (pardonne-moi, leon).
Faut néanmoins utiliser la propriété que toute partie non vide de R a une borne inférieure.

[Nightmare]

Ta démo m'intéresse Doraki !

[Doraki]

On suppose donc f(a)=f(b)=0 et on souhaite montrer que f est nulle.

Supposons que f prenne par exemple une valeur strictement positive.
Alors comme f est continue, elle atteint son maximum y > 0.

Soit x la borne inférieure de l'ensemble non vide {x de [a;b] / f(x) = y}.
Comme f est continue, f(x) = y.
f(a) = 0 < y donc a < x (j'imagine que dans ton énoncé, c doit être strictement positif, et x dans ]a;b[).

Soit c>0 tel que f(x) = (f(x-c)+f(x+c))/2.
Comme f est majorée par y, f(x-c) et f(x+c) valent aussi y.
On en déduit que x <= x-c < x.

[Nightmare]

Joli :happy3:

[lapras]

Nice ! :) :)

[Ericovitchi]

ha oui bravo

[leon1789]

Salut à tous,

On peut supposer que f(a)=f(b)=0 quitte à ajouter une fonction affine.
Il faut alors montrer que f est nulle.
C'est pas très très dur par l'absurde (pardonne-moi, leon).
Faut néanmoins utiliser la propriété que toute partie non vide de R a une borne inférieure.

Arf... l'absurde... :ptdr:

Bon, de manière directe, c'est simple, en utilisant la densité des fractions (z,n entiers) dans R. Comment se fait-il que personne n'y pense ?...

Notons (D) la droite passant par les points et .

Pour un réel t compris entre 0 et 1, on note P(t) le point où (barycentre de a et b)
Alors l'hypothèse dit que
P(1/2) est sur (D),
puis P(1/4) , P(3/4) sont sur (D),
puis P(1/8) , P(3/8) , P(5/8), P(7/8) sont sur (D),
...bref tous les points sont alignés sur (D)
Enfin la continuité de f et la densité des fractions permettent de conclure que tous les P(t) sont alignés sur (D).
Non ?

(j'aurais pu poser a=0 et b=1 pour que les notations soient plus simples.)