Une histoire d'élément maximal

par **Nightmare** » 13 Sep 2009, 22:35

Salut à tous :happy3:

En écrivant des idioties sur mon brouillon, comme d'habitude, j'ai découvert un petit résultat marrant, je ne sais pas si c'est connu, je vous le soumet :

Que dire d'un ensemble E dont toute partie de P(E) admet au moins un élément maximal?

La réciproque?

:happy3:

par **ffpower** » 13 Sep 2009, 22:42

maximal en quel sens?E est ordonné?

par **Imod** » 13 Sep 2009, 22:45

P(E) est ordonné naturellement par inclusion :we:

Imod

par **Nightmare** » 13 Sep 2009, 22:47

Oui, on parle de parties de P(E) et non de E :happy3:

par **ffpower** » 13 Sep 2009, 23:32

Ah euh oui ok sorry..Bon ben a ce moment la,on peut dire que si il y avait une suite (xn) d élements 2 a 2 distincts,parmi les ensembles Ak={x1,...xk},y aurait pas d élément maximal.Donc E est fini(auquel cas effectivement,ca marche^^

par **sami-sg1** » 13 Sep 2009, 23:46

salut
E est où bien l'ensemble vide ou bien un singleton :)

par **Nightmare** » 13 Sep 2009, 23:49

ffpower > C'est bien ça ! La réciproque?

sami-sg1 > hélas non, l'ensemble {1,2} vérifie l'hypothèse par exemple.

par **sami-sg1** » 13 Sep 2009, 23:53

euuh...
si E={1,2} alors P(E)={vide,{1},{2},E}
une partie de P(E) peut être {{1},{2}} qui n'admet pas d'élément maximal non ?

où est-ce que c'est faux ?

par **Nightmare** » 14 Sep 2009, 00:03

{1} et {2} sont des éléments maximaux !

par **sami-sg1** » 14 Sep 2009, 00:33

confusion entre élément maximal et plus grand élément !

mmm dans ce cas, je dirais que E est fini (comme l'a dit ffpower d'ailleurs). La réciproque est vrai (une partie A de P(E) aura des ensembles finis, donc les ensembles de A qui ont le maximum d'éléments ne pourront être inclus dans un autre élément)

par **Nightmare** » 14 Sep 2009, 00:41

Tout simplement, toute partie finie non vide d'un ensemble ordonné admet au moins un élément maximal.

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