Une fonction complexe, un théorème-mystère..

par **Lili, Pelican Hydropathe** » 26 Mai 2006, 17:58

Bonjour !
Ceci n'est point un DM (ah ah, quelle feinte), mais une question :
au détour d'un paragraphe la prof de maths a glissé un mot à propos d'un théorème qui stipulerait qu'une fonction complexe (l y avait d'autre shy pothèses je crois..) soit est constante, soit prend toutes les valeurs de C, soit prend toutes les valeurs sauf une.. :technicol (désolée si l'énoncé n'est pas correct, euh.. non, non, lache tout de suite cette pierre.. :briques: )
Il se trouve que ceci est largement hors programme et que je n'en trouve pas trace dans les bouquins de maths que j'ai (et je vous laisse imaginer les réponses de Google à "fonction complexe valeurs") ..
Et je ne me fais pas d'illusion sur mes maigres capacités à comprendre la démonstration du dit théorème.. :euh:
Mais si vous aviez eu vent de l'affaire, et si vous connaissiez un moyen de faire "voir" intuitivement le pourquoi du comment.. voila, merci d'avance.. :we:

par **yos** » 26 Mai 2006, 18:52

Il s'agit des fonctions analytiques, c'est-à-dire dérivables de C dans C. On montre qu'une telle fonction est somme d'une série entière, c'est-à-dire qu'elle s'écrit comme un polynôme de degré infini. Du coup elle a des propriétés qui la rapproche beaucoup des polynômes. Par exemple le théorème de Gauss-D'Alembert (qui dit qu'un polynôme complexe non constant est surjectif sur C) possède un analogue pour les fonctions analytiques qui est ce que tu as dit. La fonction exponentielle est un exemple de tellez fonction. Elle prend toutes les valeurs sauf 0.

par **kaiser** » 26 Mai 2006, 18:57

Bonsoir

Je crois qu'il s'agit du petit théorème de Picard et qui concerne les fonctions entières (c'est-à-dire les fonctions dérivables au sens complexe en tout point de

).

Kaiser

par **MooMooBloo** » 26 Mai 2006, 20:20

Effectivement c'est un corollaire du théorème de Picard (dit Petit Théorème), c'est tout de meme un resultat surprenant non? :marteau:

par **Lili, Pelican Hydropathe** » 27 Mai 2006, 23:13

Merci !

Bon si leur comportement se rapproche des polynômes alors c'est un peu plus facile à imaginer (quant à savoir pourquoi elles s'en rapprochent,.. hum, euh.. :triste: )

Sinon, pour ceux que ça interresse (sait-on jamais), connaître le nom de la bête m'a fourni ce lien : http://forums.futura-sciences.com/thread16374.html
perso je n'y ai pratiquement rien compris (arf !), mais.. :ptdr:

Hum..
oui c'est un résultat a priori très surprenant, et c'est précisemment ce qui a motivé ce post à la base .. :we:

Une fonction complexe, un théorème-mystère..

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