Bonjour tout le monde, voilà je viens d'entrer en PREPA MPSI, et j'ai déjà un DM à rendre pour lundi, et le tort que j'ai eu pendant ces vacances c'est de ne pas avoir ouvert un cahier. Bref, je bloque sur un exercice dont voilà l'énoncé :
Déterminer l'ensemble des fonctions dérivables f:R --> R vérifiant :
Pour tout couple (x;y) appartenant à R^2 : f(xy) = f(x) + f(y).
Je me rappelle la méthode pour résoudre l'équation fonctionnelle qui introduit la fonction expo, mais en ce qui concerne celle de la fonction logarithme, je n'arrive pas à trouver l'astuce. Pouvez vous donc me donnez la petite astuce qui me permettras de commencer ?
Merci par avance.
Winphoenix @+
Une équation fonctionnelle !
16 messages
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par tize » 06 Sep 2006, 16:33
Bon,
si
est dérivable et vérifie f(xy)=f(x)+f(y) alors on peut facilement montrer que f(1)=0. Ensuite :
-f(x)}{h}=\frac{1}{x}\frac{f(x+h)-f(x)}{h/x}=\frac{1}{x}\frac{f(x(1+h/x))-f(x)}{h/x}=\frac{1}{x}\frac{f(1+h/x)-f(1)}{h/x})
car f(1)=0
fait tendre ensuite h vers 0 ....
si
fait tendre ensuite h vers 0 ....
par xon » 06 Sep 2006, 16:39
oui, ou même dériver directement l'égalité par rapport à x puis faire x=1 dans la nouvelle égalité.
par winphoenix » 06 Sep 2006, 18:24
tize a écrit:Bon,
si
fait tendre ensuite h vers 0 ....
Lorsqu'on fait tendre h vers 0 on trouve bien 1/x ?
La on a donc les conditions suivantes :
f(1) = 0
f'(x) = 1/x
On déduit de cela directement que f est la fonction ln ?
par Pythales » 06 Sep 2006, 21:00
En dérivant l'égalité par rapport à 
puis par rapport à 
il vient :=f'(x))
et =f'(y))
soit =yf'(y))
Comme le 1er membre ne dépend que de et le 2ème de , on doit avoir :=C)
soit =\frac{C}{x})
et =Cln(x))
Comme le 1er membre ne dépend que de
par tize » 06 Sep 2006, 21:01
winphoenix a écrit:Lorsqu'on fait tendre h vers 0 on trouve bien 1/x ?
NON, on trouve :
Mais tu peux utiliser la methode de Xon c'est la plus simple et la plus rapide
par Oumzil » 06 Sep 2006, 23:26
remarquez un truc :
f(xy) = f(x) + f(y)
pour x = 0 et y=0
f(0) = 2f(0) donc f(0) = 0
pour x=1 y=1
f(1) = 2f(1)
donc f(1) =0
plus rapide non ?
f(xy) = f(x) + f(y)
pour x = 0 et y=0
f(0) = 2f(0) donc f(0) = 0
pour x=1 y=1
f(1) = 2f(1)
donc f(1) =0
plus rapide non ?
par jose_latino » 06 Sep 2006, 23:37
winphoenix, attention avec le domain, tu as dit 
. Si l'ennoncé était comme ça la réponse serait la fonction nulle car pour les positifs est )
et pour les négatifs est )
(c'est la même constante), mais à cause de la continuité en 0, comme =0)
, 
.
Mais l'exercice deviendrait moins intéressant:
=f(0x)=f(0)+f(x))
, alors =0)
Mais l'exercice deviendrait moins intéressant:
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