Une équation à deux inconnues entiers naturels

[Sara1999]

Bonjour,
La question est la suivante: quelles sont les valeurs de l’entier naturel k , impair avec 0<=k<=500 tel que l’équation suivante admette exactement deux couples solutions(m,n) :
k=m^2-n^2 .
m et n deux entiers naturels non nuls.
Merci d’avance.

[catamat]

Bonjour

m²-n²=(m+n)(m-n)

Donc si k = p*q avec p et q entiers naturels, p>q

on a m+n=p et m-n=q

donc m=(p+q)/2 et n=(p-q)/2

m et n seront entiers si et seulement si p et q sont de même parité.
Donc on cherche des entiers inférieurs à 500 se décomposant de deux façons seulement sous forme d'un produit d'entiers de même parité.


Ex k=15=3*5=15*1
Pour 3 et 5, m=4 et n=1
Pour 1 et 15, m=8 et n=7

autre ex avec des pairs
k=32=16*2=8*4 (ici 32*1 ne convient pas)
Pour 2 et 16, m=9 et n=7
Pour 4 et 8, m=6 et n=2

[Sara1999]

Merci beaucoup, au fait k est impair dans l’énoncé. Mais peut-on alors donner toutes les valeurs possibles pour k, ou bien il faut laisser la réponse comme suit: k=pq se décomposant de deux manières différentes….

[catamat]

Ok j'avais pas vu que k est impair.

oui k=pq avec p et q premiers entre eux ainsi il n'y a que deux décompositions possibles de k
k=p.q et k =1.(pq)

[Sara1999]

S’il vous plaît, il me semble qu’il y a d’autres possibilités comme k=p^3 ou k=p^4 avec p premier impair, car par exemple : si m^2-n^2= 5^3 , on aura uniquement les deux possibilités :
m-n=1 et m+n=5^3
m-n=5 et m+n=5^2
Peut-on alors dire qu’il n’y a que ces 3 cas?

[lyceen95]

J'allais dire que les cas k=p^4 donnent 3 solutions, mais tu as raison, une des 3 solutions correspond à n=0 donc n'est pas retenue.
Donc oui, il manquait les cas k=p^3 et k=p^4 à la solution.

Tu demandais s'il fallait lister toutes les solutions, ou donner la forme générale.

Il y a combien de solutions ? une dizaine, ou une centaine ?
Lister une dizaine de nombres, et dire : voilà, c'est la liste des solutions, ok, c'est gérable.
Mais lister une centaine de nombres, ce n'est pas réaliste. Le correcteur ne va pas pointer toute une centaine de nombres, et comparer avec sa liste.

Donc à toi de voir.

[Sara1999]

Merci pour votre remarque. Au fait, j’aurais bien voulu être capable de connaître le nombre de tels k au moins, les lister c’est un peu trop demandé je crois.

[lyceen95]

Combien il y en a , je ne sais pas précisément, mais 3x5, 3x7, 3x11, 3x13 ... 5x7, 5x11, 5x13 ... etc etc
ça va en faire beaucoup.

[Black Jack]

Je pense que les valeurs de k qui conviennent sont les nombres impairs <= 500 qui ont exactement 4 diviseurs.

Il faut trouver les impairs < 500 qui ont exactement 4 diviseurs (1 et eux-mêmes compris)

par exemple : 15, 21, 27, 33, 35, 39, 51, ... , 497 (liste à compléter)

k peut prendre ces valeurs.

Exemple : k = 39
Les diviseurs de 39 sont (1 , 3 , 13 , 39) (exactement 4 diviseurs)

39 = 1*39 ou 3*13

a)
m-n = 1
m+n = 39
--> m = 20 et n = 19

b)
m-n = 3
m+n = 13
--> m = 8 et n = 5

L'équation m² - n² = 39 a exactement 2 couples (m,n) solutions, ce sont les couples (20,19) et (8,5)
*****

Donc, on comptant tous les impairs < 500 qui ont exactement 4 diviseurs ... on aura toutes les valeurs de k possibles.


Si on n'a pas le courage de les chercher ... on peut s'aider de ce site : https://www.mathepower.com/fr/ensembledediviseurs.php

[GaBuZoMeu]

Bonsoir,

Couple ou paire ? Si on parle de couples, le couple (20,19) et le couple (19,20), ça fait deux.

[Black Jack]

Bonsoir,

Couple ou paire ? Si on parle de couples, le couple (20,19) et le couple (19,20), ça fait deux.

m = 19 et n = 20 donne k < 0 ... ce qui est interdit.

[GaBuZoMeu]

Oui, tu as raison, c'est sur les diviseurs de k qu'il faut parler de paires, pour les solutions (m,n) il s'agit bien de couples.
Les impairs qui ont 4 diviseurs sont exactement les produits de 2 premiers impairs distincts.

[Black Jack]

Sans avoir vérifié ... pour comptabiliser le nombre de k possibles, on peut faire ainsi :

nombres premier impairs <= 500/3
3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163

Avec 3 (pour (m-n)) * nombres premiers de [5 à 163] (pour (m+n) --> 36
Avec 5 * nombres premiers de [7 à 97] --> 22
Avec 7 * nombres premiers de [11 à 43] --> 6
Avec 13 * nombres premiers de [17 à 29] --> 4
Avec 17 * nombres premiers de [19 à 23] --> 3

Nombre des k possibles : 36 + 22 + 6 + 4 + 3 = 71

[catamat]

Bonjour
Il y a aussi 19*23
et bien sûr les p^3 et p^4 avec p premier impair

[Black Jack]

Bonjour
Il y a aussi 19*23
et bien sûr les p^3 et p^4 avec p premier impair

Bonjour,

Oui,

Oui, cela ajoute k = 27, 81, 125, 256, 343

[GaBuZoMeu]

Décidément, j'ai dit bien des bêtises !

[catamat]

cela ajoute k = 27, 81, 125, 256, 343

Euh pour 256 = 2^8
il y a trois décompositions
256=2*128=4*64=8*32