par Le_chat » 29 Déc 2012, 19:04
Alors: y'^2(t)=G(y(t)) quel que soit t.
Sur [t0,t1], comme au voisinage de t0 y' est positif, au voisinage de t0, y'(t)=sqrt(G(y(t)), et comme on a tout le temps y'(t)=+/-sqrt(G(y(t)), si il y a un changement de signe en un temps t', c'est que G(y(t'))=0 par continuité de y' et tvi. Comme avant t', y'(t) était positif, donc y croissant, on a y(t')>y0, et donc y(t')=y1.
T'en déduis que entre t0 et t', on a y'(t)=sqrt(G(y(t)), ce qui donne:t-t0= intégrale entre y0 et y(t) de 1/sqrt(G(u)). Pour t=t', t'as t'-t0=t1-t0, donc t'=t0.
En résume, sur [t0, t1], y est croissante et y'(t)=sqrt(G(t)). Bon ce n'était pas ta question mais ça permet de voir ce qu'il se passe.
Ensuite faut regarde au voisinage de t1.
C'est un peu compliqué mais essaye de montrer que y est décroissante au voisinage de t1, en gardant t>t1. Utilise pour ça le fait que G(y(t)) est tout le temps positif et que dG/dy est négatif au voisinage de y1.
une fois que c'est fait, t'en tires que y'(t)=-sqrt(G(y(t)) dans un voisinage de t1 , t étant superieur à t1.
Pareil qu'avant, si il y a un changement de signe en t", c'est que G(y(t"))=0, et donc que y(t")=y0.
En integrant la relation entre t1 et t", on trouve t1-t"=integrale de y1 à y0 de 1/sqrt(G(u)), et ça marche.
En fait il faut vraiment voir la mécanique du processus, mais à écrire proprement c'est une galère sans nom, je ne pense pas qu'ils demandent une preuve ultra rigoureuse de ça aux concours, surtout que c'est une fin de sujet.
