Une énigme de proba avec des billes

[ChrisAtari]

Bonjour

Voici mon problème :

On a un sac remplit de 500 000 000 billes, tous de couleur bleu à l'exception de 320 000 qui sont vertes. En un an on en prend 27000 de manière aléatoire, une par une pour les peindre en rouge et en les remettants à chaque fois. Quelle est la probabilité après un an d'avoir peint une même bille verte 2 fois en rouge ?

C'est plus le chemin de calcul que le résultat qui m'intéresse.

Merci

[nodgim]

Parce que quand tu tires une bille rouge, tu la peins une seconde fois en rouge ???

[Ben314]

Salut,
Ca me semble plus que coton d'avoir la valeur exacte (et pas évident du tout d'avoir une valeur approximative).

Pour calculer la proba qu'au bout de tirage on n'ait jamais repeint une deuxième fois une verte (à l'origine) en rouge, on peut dire que c'est la somme pour de la proba d'avoir tiré vertes différentes et bleues quelconques .
Le nombre de suites BVVBVBV.... contenant V et B est (coeff binomial) et, pour une telle suite donnée, la proba que ça corresponde au tirage effectué (avec des vertes différentes) est si et 0 sinon.
(où Nb de vertes au départ ; Nb de bleue au départ ; Nb total de billes)
Donc
Mais je ne sais pas calculer explicitement ce type de sommes et je ne crois pas (pas sûr...) que ce soit exprimable avec les fonctions "élémentaires" du dénombrement, mais il y a sans doute des fonctions "spéciales" dédiées.

Après, on peut éventuellement (à voir...) faire une estimation de la somme en question, mais tant qu'à faire des estimations, je pense que le plus simple serait plutôt de regarder bille par bille la loi qui donne le nombre de fois qu'elle a été tirée : cette loi est on ne peut plus simple et c'est la même pour chaque bille mais le problème, c'est qu'elles ne sont pas indépendantes et il faut sans doute estimer cette "non indépendance" pour voir quelle erreur on commet en faisant le calcul comme si les lois étaient indépendantes (ou alors ne tenir compte que de la dépendance 2 à 2 des lois ou une idée du même style...).