Une égalité entre deux séries contenant la suite de Fibonacc

[Sara1999]

Bonjour,
J’ai séché sur cette question:
Établir que
Sum(1/(phi^n . Fn)) =Sum 1/(F2n-1 . F2n)
Pour n=1 à + l’infini . C’est à dire l’égalité des deux séries.
Merci d’avance

[Sara1999]

Remarque, j’ai montré que le terme de gauche est égal à sqrt(5)Sum1/((phi^2n)-(-1)^n) et que celui de droite est égal à 5.Sum 1/(1+sqrt(5)F4n-1) mais ceci ne m’a avancé à rien. Merci de votre soutien.

[lyceen95]

J'ai calculé les premiers termes... et j'ai des doutes.
Maintenant, peut-être que j'ai mal compris les notations.

[Sara1999]

Merci pour votre retour.
En ce qui concerne la notation: il s’agit de la série des inverses de (Phi à la puissance n multiplié par Fn) et de la série des inverses de (F2n multiplié par F2n-1) . n allant de 1 à l’infini.

[lyceen95]

Oui, ça, c'était clair.
Là où j'ai un doute c'est sur Fn :
F0=1, F1=2 , F2=F0+F1 etc etc
ou bien
F1=1 , F2=2, F3=F1+F2 etc etc
Mais dans les 2 cas, l'égalité proposée semble fausse.

Tu peux faire les calculs ... calculer la somme des 10 ou 20 premiers termes pour les 2 suites. On voit que les suites se stabilisent très vite. Ca peut être trompeur, mais a priori, on a assez vite une très bonne estimation des 2 limites. Et elles ne sont pas les mêmes.

Calculer à la main les 2 suites, ça n'aide pas vraiment à résoudre l'exercice, mais ça permet déjà de s'assurer qu'on a bien compris la question. Si on nous demande de prouver que A=B, mais que les calculs nous disent que A et B ne sont pas égaux, il y a une erreur quelque part.

[Sara1999]

Un très grand merci , l’énoncé n’est donc pas correct, dorénavant, je suivrai votre conseil pour m’assurer de sa validité.

[lyceen95]

Dans l'ordre :
1. Faire confiance à l'énoncé , considérer que l'énoncé est correct, et essayer de répondre à la question.
2. Si difficulté, ou si doute sur les conventions utilisées, calculer les premiers termes, pour voir ce qui se passe.

Ici, on aurait pu constater par exemple que le résultat était faux si on considère F0=1 ... mais juste si on considère F1=1, F2=2 ..
Et donc, une fois qu'on a mieux compris ce qu'on doit démontrer, on peut se lancer dans une démonstration.