Une distance dans les entiers naturels

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mathelot
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Une distance dans les entiers naturels

par mathelot » 26 Jan 2022, 20:52

Bonjour,
j'ai (re)découvert une distance définie sur les entiers naturels privés de zéro.

Soient a et b deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 1.


On pose (*)


où ln() est le logarithme néperien et pgcd() le plus grand diviseur commun à a et à b.

a et b étant deux entiers naturels non nuls , a et b s'écrivent a'd et b'd où d est leur pgcd et a' et b' sont deux entiers premiers entre eux.

a' et b' est ce qui différentie (discrimine) les entiers a et b. d'où l'idée qu'une fonction de a' et b' puisse être une distance entre a et b.


Propriété: d(a,b) vérifie l'inégalité triangulaire.
Soient deux entiers a,b non nuls.
Il existe un entier n , des nombres premiers et des exposants entiers tels que




on peut supposer que a et b se factorisent avec les mêmes nombres premiers en
considérant des exposants nuls.









On en déduit que d(a,b) vérifie l'inégalité triangulaire.
c étant un naturel non nul quelconque.

Propriété: soient a,b,k des entiers non nuls.
d(ka,kb)=d(a,b)



tournesol
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Re: Une distance dans les entiers naturels

par tournesol » 26 Jan 2022, 21:38

Bonsoir mathelot .
Tres intéressant .
La suite des exposants est une suite finie d'entiers .
On peut lui faire correspondre le polynôme
On doit donc pouvoir transporter toute distance definie sur N*[X] sur N* .
On peut en particulier remplacer la suite de tg ln(pi) par toute suite de réels strictement positifs .
Mais aussi utiliser les distances sur les suites finies comme d2 , d3 , dp , d infinie ( sup| bétai-alphai|)

lyceen95
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Re: Une distance dans les entiers naturels

par lyceen95 » 26 Jan 2022, 21:57

Ici, tu as choisi une distance de Manhattan, mais tu aurais pu choisir une distance euclidienne.

Je m'explique.
Regardons uniquement les nombres qui ont uniquement 2,3 ou 5 dans leur décomposition en facteurs premiers.

1 est le point origine
2, 4 , 8 ... sont les points sur l'axe des x (l'axe des 2)
3, 9, 27 ... sont les points sur l'axe des y
5,25,125 ... ... sont les points sur l'axe des z.
Les points (6,36,216...) sont dans le plan z=0, sur la bissectrice entre l'axe des x et l'axe des y
Les points (30,180,1080...) sont dans le plan z=1, sur la bissectrice entre l'axe des x et l'axe des y
etc etc

Ce que tu proposes, c'est que la distance entre 2 points et est , appelée distance de Manhattan (comment aller d'un point à un autre avec des rues à angle droit).
Tu aurais pu choisir la distance euclidienne

En finissant ce message, je me rends compte que la formule explicite pour la distance que je propose doit être assez compliquée à trouver.

 

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