Une dérivée n ième

[Sara1999]

Bonjour,
Y a t-il un moyen pour calculer g^(n)(x)-h^(n)(x) sachant que le symbole (n) veut dire la dérivée nième?
g(x)= un(x) et un(x)=x^(un-1(x))
U1(x)=x .
Merci d’avance.

[jeanz]

Bonsoir,
Comment tu définis h?

[Sara1999]

Oui pardon, j’ai oublié de d’écrire: h(x)=un-1(x)
Merci.

[Sara1999]

Au fait, il s’agissait au début du calcul de la limite lorsque x tend vers 1 de (u_n(x)-u_(n-1)(x) )/(1-x)^(n+1) , et j’ai pensé à utiliser la règle de l’hôpital plusieurs fois.
Merci de m’aider .

[catamat]

Bonjour

Déterminer la fonction (par récurrence), on peut alors simplifier et lever l'indétermination.

[Sara1999]

Oui mais comment déterminer u_n ? Merci d’avance.

[catamat]

On a (pour tout réel x je suppose même si tu ne le dis pas) et donc



ainsi de suite on voit apparaître la formule à démontrer par récurrence...

[Sara1999]

S’il vous plaît, u2(x)=x à la puissance u1(x)

[Skullkid]

Bonjour, on peut remarquer que , qui permet d'obtenir un équivalent par récurrence.

[Sara1999]

Si je pose vn=u_(n+1)-u_(n).
V_n≈ x^(v_(n-1))-1 mais je ne vois pas comment continuer

[Skullkid]

Comme tend vers 0 quand x tend vers 1, on a

[Sara1999]

Merci beaucoup, si j’ai bien compris, vn(x)≈(x-1)vn-1(x) et La limite demandée est égale à (-1)^(n+1) . Est ce que ne me suis pas trompée.