Une bijection de ]a,b[ vers R

[aviateurpilot]

trouver une bijection de vers

[Zebulon]

Bonsoir,
il suffit de se rapporter à l'intervalle et d'utiliser tangente.

[yos]

Avec une fct affine, tu envoies ]a,b[ vers ]-pi/2, pi/2[ et ensuite tu prends la fct tangente. La composée de ces deux fonctions convient.

amusant aussi :trouver une bijection de [0,1] sur [0,1[

[simplet]

amusant aussi :trouver une bijection de [0,1] sur [0,1[

en effet c'est marrant... je reflechis... :hum:

[Zebulon]

trouver une bijection de [0,1] sur [0,1[

Il faut chercher une limite de suite de fonctions ?

[simplet]

est-ce qu'il faut "passer" de [0,1] sur un autre intervalle pour "revenir" à [0,1[ , ou on peut trouver directement la fonction bijective??


et si tu n'avais pas formuler la question de cette facon j'aurai dit que ces deux intervalles n'étaient pas en bijection :-)) :triste:

[Zebulon]

Si tu passes par un autre intervalle, il faudra quand même montrer une fois qu'on peut passer "bijectivement" d'un intervalle fermé à un intervalle semi-fermé.
Je pensais plutôt à ça : avec, pour tout , .
Alors chaque est définie sur [0,1] à valeurs dans et est bijective. Peut-on en déduire que f est à valeurs dans [0,1[ et est bijective ?

[simplet]

Moi aussi j'avais penser à ca. MAis 0 n'est pas atteint. Ah bah si j'ss bete!! non, moi en fait j'av pris x -> x+1/n voila pourquoi..

[Zebulon]

MAis 0 n'est pas atteint.

Si ! Pour tout , !

[simplet]

g modifié mon post juste avant :we:

[yos]

Ces deux intervalles sont en bijection car ils ont tous les deux la puissance du continu.
Il ne faut bien sûr pas chercher dans les fonctions continues.
L'exemple de zebulon est une fct continue car la limite est x ---> x non?

[Zebulon]

Ce qui m'embête, c'est plutôt que, si on définit f comme ça, ...

[Zebulon]

Ces deux intervalles sont en bijection car ils ont tous les deux la puissance du continu.

D'accord, mais comment montre-t-on qu'ils ont la puissance du continu autrement qu'en montrant qu'ils sont chacun en bijection avec , et donc en explicitant chaque bijection, ce qui donnera, par composée, une bijection entre les deux ?

[alben]

Bonsoir

Je pense qu'il faut faire un traitement particulier pour les rationnels contenus dans [0,1]. Ils sont dénombrables et on doit pouvoir les mettre en bijection avec N
De même les rationnels contenus dans [0,1[ sont aussi dénombrables, donc en bijection avec N et donc aussi avec ceux contenus dans [0,1]. Pour les réels non rationnels, l'identité doit marcher
Ca semble pouvoir tenir la route mais je ne suis pas sur :triste:

[yos]

D'accord, mais comment montre-t-on qu'ils ont la puissance du continu autrement qu'en montrant qu'ils sont chacun en bijection avec , et donc en explicitant chaque bijection, ce qui donnera, par composée, une bijection entre les deux ?

Tu me surprends!
Il n'y a qu'un élément d'écart entre ces deux ensembles infinis...

De toute façon c'est évident que tout intervalle non vide a la puissance du continu.
L'idée d'Alben est bonne. On peut même se limiter aux éléments 1/k de [0,1] (k entier) . A ceux là on fait un traitement spécial, et aux autres encore plus simple.

[alben]

On peut même se limiter aux éléments 1/k de [0,1] (k entier) . A ceux là on fait un traitement spécial, et aux autres encore plus simple.

Oh oui, joli :king2:
C'est l'hôtel de Hilbert !

[yos]

C'est l'hôtel de Hilbert !

c'est quoi ça?

[alben]

c'est quoi ça?

un classique
On n'utilise ici que la première partie

[yos]

Merci pour le lien. Je faisais de l'hotel de Hilbert sans le savoir.

[B_J]

Salut ;
la fonction definie par :
f(x)=1/(n+2) si x=1/n , n entier naturel non nul
f(x)=1/2 si x=0
et f(x) = x sinon
repond a la question