Bonjour,
Voici l'énoncé d'une petite application du théorème de Hahn-Banach :
"Soit un espace de Banach et un sous-espace fermé. On définit et . On souhaite établir que . Ici, correspond à l'espace dual de ."
Ma preuve : on considère un sous-espace un peu plus grand que noté contenant un élément de sorte que où et . On montre que est continue et par le théorème de Hahn-Banach, nous pouvons étendre sur . Ainsi, et ce qui contredit le fait que .
Je pense ne pas bien comprendre la preuve car l'utilisation du théorème de Hahn-Banach m'échappe (je l'utilise parce que je savais que c'était une application du théorème de Hahn-Banach...). Le théorème est utilisé pour montrer que pour n'importe quel élément , on peut construire une fonctionnelle linéaire telle que .
Pourquoi ne peut-on pas affirmer a priori l'existence d'une telle fonctionnelle linéaire telle que ?