Trver fct à 2 arguments à partir de 6 contraintes sur dérivées

[GreenZorg]

Bonjour,
Je souhaite trouver une fonction à deux arguments u(x,y) qui vérifie six contraintes sur ses dérivées. x et y sont des quantités donc toujours positifs (il s'agit d'économie).

1&2: Dérivées premières:
du/dx>0 pour tout x & du/dy>0 pour tout y (donc u croissante en x et en y)

3&4: Dérivées secondes:
d²u/dx²<0 pour tout x & d²u/dy²<0 pour tout y (donc u concave en x et en y)

5&6: Dérivées croisées:
d²u/dxdy<0 pour tout x+y0 pour tout x+y>theta (ou au minimum y>theta) (theta est un seuil, positif)

j'ai trouvé une fonction spécifique qui vérifie ces contraintes: u(x,y)=xy+1-exp(theta-x-y)

Mais je ne pense pas que ce soit la seule. Je voudrais trouver la fonction la plus générale possible qui vérifie ces six conditions.Le mieux serait que cette fonction spécifique que j'ai trouvée appartienne à une catégorie de fonction connue. Peut-être les fonctions de Weibull mais à deux arguments?? Je n'ai pas encore essayé.

Pourriez-vous m'aider?

Merci beaucoup

GreenZorg

[Luc]

Salut,

comme il ne s'agit que d'inéquations, je ne pense pas qu'il soit possible de trouver une forme spécifique pour toutes les fonctions qui conviennent: il y en a beaucoup trop!

En revanche, ce qui est possible c'est de chercher u sous une forme donnée (dans une famille à paramètres par exemple, comme une Weibull pour reprendre ton exemple) et regarder à quelle condition sur les paramètres u convient.

D'ailleurs le terme constant 1 dans ton exemple est inutile, puisque toutes les fonctions v(x,y)=u(x,y)+c conviennent, étant donné que les conditions ne portent que sur les dérivées de u.

Bonne recherche,

Luc

[GreenZorg]

Merci Luc. Je vais essayer ta méthode.
Oui bien sûr, le "1" est inutile dans ma fonction, mais c'est pour une question d'interprétation économique ensuite. C'est pour cela que je l'ai laissé.