Trouver un supplémentaire

[jeje56]

Bonjour à tous,
E désigne l'espace vectoriel des applications de R dans R de classe C2.
F désigne le SEV des polynômes de degré au plus égal à 2.
Il s'agit de déterminer un supplémentaire de F dans E.
Des considérations sur les dimensions me viennent à l'esprit... Quelqu'un a-t-il une piste ?
Merci !

[Ben314]

Salut,

Des considérations sur les dimensions me viennent à l'esprit... Quelqu'un a-t-il une piste ?

Déjà, a, a risque pas de te mener à grand chose vu que l'espace des fonctions C2 sur [0,1] est clairement de dimension infini (il contient au moins tout les polynômes . . . )
Perso, ce qui me vient à l'esprit, c'est qu'il faut écrire toute fonction f C2 sur [0,1] sous la forme unique f=P+g où P est un polynôme de degré au plus 2 et où g est une fonction . . . ayant une certaine propriété . . .
Et ce que ça évoque pour moi, c'est par exemple les développements limités : on pourrait prendre pour P le D.L. à l'ordre 2 (en 0 par exemple) de f. Quelle propriété pourrait alors caractériser les restes g=f-P ?
C'est cette propriété là que tu peut prendre comme définition de ton s.e.v. G.

Sinon, le truc dont il faut bien être conscient c'est que des supplémentaires, il y en a des tonnes (une GROSSE infinité) donc ce que je te propose là, c'est une méthode pour en trouver UN parmi d'autre.
Un autre type de raisonnement (avec la notion de codimension et celle de forme linéaire) pourrait conduire à prendre comme supplémentaire l'ensemble des fonction f qui sont nulle en 0, en 1/2 et en 1 (ou qui prennent n'importe quelle valeurs fixées d'avance en 3 points distincts fixés de [0,1]). Est ce que tu voit pourquoi ça marche ? (ou au pire est-ce que tu arive à montrer que c'est bien un supplémentaire de ton e.v.)

[jeje56]

on pourrait prendre pour P le D.L. à l'ordre 2 (en 0 par exemple) de f. Quelle propriété pourrait alors caractériser les restes g=f-P ?

Salut Ben, merci de ta réponse.
g serait telle que tend vers 0 dans le cas d'un DL à l'ordre 2 en 0.
Mais je n'arrive pas à concevoir la décomposition de toute fonction f en une telle somme directe pour tout x puisque le DL est local...
Merci de ton aide.

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Mais la différence entre la fonction de classe sur et la partie régulière de son développement limité en 0 d'ordre 2 est bien une fonction de classe sur .

[jeje56]

Bonjour,

Mais la différence entre la fonction de classe sur et la partie régulière de son développement limité en 0 d'ordre 2 est bien une fonction de classe sur .

Oui... Ce qui me gêne est qu'une telle décomposition f=P+g est vraie seulement au voisinage de 0, non ?

[GaBuZoMeu]

Je répète : est bien une fonction de classe sur . Non ?

[jeje56]

Oui ! Et donc ?!
Je ne comprends pas ce que tu veux dire.

[GaBuZoMeu]

C'était une réponse à

une telle décomposition f=P+g est vraie seulement au voisinage de 0

Ce que je veux dire est donc que cette décomposition est bien une décomposition dans , et que "vraie seulement au voisinage de 0" ne fait pas sens.

[jeje56]

Oui d'accord, j'y vois plus clair.
Une rédaction par analyse synthèse est-elle appropriée ici ?
Merci !

[GaBuZoMeu]

Ça peut se faire. Mais il faut commencer par bien identifier le candidat supplémentaire (et vérifier que c'est bien un sous-espace vectoriel).

[jeje56]

Je propose la rédaction suivante.
Soit
Par unicité du développement limité d'ordre n d'une fonction en un point, il existe un unique polynôme et une unique fonction vérifiant tels que .
Reste à vérifier que est bien un sous-espace vectoriel de :
- contient donc est non vide ;
- .
En conclusion, est bien un supplémentaire de dans .
Est-ce correct ?
Merci d'avance !

[GaBuZoMeu]

Ça marche.
Tu aurais pu aussi caractériser ton supplémentaire comme le sous-espace des g\in C^2(\R) tels que g(0)=g'(0)=g''(0)=0.
Et pour montrer qu'il n'est pas vide : il y a 0 (la fonction contante nulle) dedans.

Comme l'a suggéré Ben,, tu aurais pu prendre le sous-espace des tels que , ou le sous-espace des tels que et ou ...

[jeje56]

Ça marche.
Tu aurais pu aussi caractériser ton supplémentaire comme le sous-espace des g\in C^2(\R) tels que g(0)=g'(0)=g''(0)=0.

Je ne vois pas... S'agit-il du même G que moi caractérisé différemment ?

[GaBuZoMeu]

Réfléchis. Que veut dire au voisinage de 0, pour une fonction de classe ?

[jeje56]

Je ne vois toujours pas le lien entre le statut de négligeable devant et g(0), g'(0) et g''(0)...

[GaBuZoMeu]

Veux-tu me faire croire que tu n'as jamais entendu parler de la formule de Taylor-Young ?

[pascal16]

on peut choisir aussi le polynôme interpolateur de Lagrange en 3 points (unicité du polynôme si je ne trompe pas) pour la décomposition unique.

[GaBuZoMeu]

Ça fait un autre supplémentaire, et Ben l'avait déjà dit.