Soit
Comment à partir de cette égalité peut on démontrer que est une fonction exposant?
Re-bonjour,
Tout d'abord ce n'est pas simplement une égalité mais une identité c'est à dire
Je me permets de changer de notation car a et b sont plutôt associés à des constantes
Démontrer que si
:
équation (1), alors
est la fonction exponentielle de base a avec a positif strict .
Il faut donc démontrer qu'une fonction f vérifiant l'équation (1) vérifie certaines propriétés de la fonction exponentielle de base a
- f(0) = 1
- f(x) est strictement positif sur R
- f vérifie une certaine équation différentielle à établir et résoudre pour obtenir l'expression de f
1) montrons qu f(0) = 1 En évaluant f en y = 0 :
soit
Solutions :
-
il s'agit de la foncftion f identiquement nulle qui vérifie bien (1) mais qui n'est pas bien intéressante !
on l'écarte dans la suite de la démo.
- f(0) = 1
2) montrons que f est strictement positive sur RSupposons qu'il existe
tel que
pour tout
et donc pour tout
,
c'est la fonction identiquement nulle
donc en dehors de cette fonction il n'existe pas de fonction f qui s'annule sur R soit
pour
donc f(u) >0
3) équation différentielle vérifiée par fOn suppose que
est
vérifie l'équation différentielle :
équivalence car
Solution:
qui est bien de la forme
recherchée.