Trouver des transformées de laplace

[Rik95]

Bonjour,

J'aurai besoin de votre aide pour m'aider a résoudre certaine transformée de laplace et me corriger ( si erreur ) sur d'autres,

1) f1(t) = (t^n)*(e^(at)), ici j'ai trouvé que la transformée est : n!/((p-a)^n+1)

2) f2(t) = (t^n)sin(bt), ici j'ai trouvé (b/(b²+p²)) dérivée n fois multiplié par (-1)^n

3)f3(t) = (e^at)*sin(bt), ici j'ai trouvé b/(b² +(p-a)²)

4) f4(t) = (e^at)*cos(bt), ici j'ai trouvé (p-a)/((p-a)²+b²)

Pour les 3 dernières, je ne sais pas comment les calculer, je n'ai pas vraiment d'idée surtout pour la 5eme

5) f5(t) = max(0, a-t) , a > 0

6) f6(t) = 0 si 03

7) f7(t) = 1 si 0<=t<=1, 0 si t > 1cr ( et la je n'ai vraiment aucune idée de ce que veut dire ce 1cr ! )

Pour les 2 dernières, est ce que je peu appliquer les formules classique ou je suis obliger de passer par l’intégrale de la fonction multiplié par e^-pt ? ( si possible je préférerai éviter de passer par une intégral, je suis pas tres doué avec :/ )

Merci

[Sake]

Bonjour,

J'aurai besoin de votre aide pour m'aider a résoudre certaine transformée de laplace et me corriger ( si erreur ) sur d'autres,

1) f1(t) = (t^n)*(e^(at)), ici j'ai trouvé que la transformée est : n!/((p-a)^n+1)

2) f2(t) = (t^n)sin(bt), ici j'ai trouvé (b/(b²+p²)) dérivée n fois multiplié par (-1)^n

3)f3(t) = (e^at)*sin(bt), ici j'ai trouvé b/(b² +(p-a)²)

4) f4(t) = (e^at)*cos(bt), ici j'ai trouvé (p-a)/((p-a)²+b²)

Pour les 3 dernières, je ne sais pas comment les calculer, je n'ai pas vraiment d'idée surtout pour la 5eme

5) f5(t) = max(0, a-t) , a > 0

6) f6(t) = 0 si 03

7) f7(t) = 1 si 0 1cr ( et la je n'ai vraiment aucune idée de ce que veut dire ce 1cr ! )

Pour les 2 dernières, est ce que je peu appliquer les formules classique ou je suis obliger de passer par l’intégrale de la fonction multiplié par e^-pt ? ( si possible je préférerai éviter de passer par une intégral, je suis pas tres doué avec :/ )

Merci

Salut,

5) Il suffit de tracer la fonction t -> a-t pour en déduire max(0,a-t) puis réduire l'intégrale sur R+ à une intégrale sur un intervalle fermé. Je trouve -1/p² + e^(-ap)/p² + a/p

6) Je te suggère de calculer l'intégrale de e^(-pt)*sin(t) entre [3,pi] puis de prendre la formule de la transformée de Laplace pour une fonction périodique de période T, mais de remanier le terme en facteur de l'intégrale de telle manière à ce que ça soit la somme des e^(-kpT) pour k allant de 1 à l'infini, et non pas de 0 à l'infini... Je sais pas si j'ai été clair et si c'est une bonne méthode a priori...

7) 1cr = 1 créneau ? Parce que c'est bien un "créneau" que l'on trace (une fonction porte dans le jargon automaticien). Il te suffit d'intégrer sur [0,1]...

[ilikoko123]

6) et pourquoi ne pas écrire sin(t)=Im(e^(it)) ?

[ilikoko123]

si mes calculs sont bons ça donne

[Rik95]

Merci pour vos réponses,

Pour la 5), je ne vois pas comment déduire le max de la fonction a-t, celle ci est a son maximum quand t tend vers -l'infini ... ou je n'ai pas bien compris ce que tu veux dire ?

Pour la 6 et 7 je n'ai pas très bien compris non plus .. :(

Illikoko123 pourquoi sin(t) = im(e^(it)) ?

[Sake]

Merci pour vos réponses,

Pour la 5), je ne vois pas comment déduire le max de la fonction a-t, celle ci est a son maximum quand t tend vers -l'infini ... ou je n'ai pas bien compris ce que tu veux dire ?

On intègre sur R+...

[Sake]

Illikoko123 pourquoi sin(t) = im(e^(it)) ?

C'est une définition : e^(it) = cos(t) + i*sin(t)

[Rik95]

On intègre sur R+...

Pourquoi on intégre spécialement sur R+ ? on ne nous a pas préciser l'intervalle ..

Sinon sur R+, le max est donc a t = 0 donc le max c'est a mais je ne vois pas comment tu as fais pour avoir ce résultat par la suite .. ;/

C'est une définition : e^(it) = cos(t) + i*sin(t)

Dans ce cas Sin(t) = (e^(it)-cos(t))/i, pourquoi c'est également egal à im(e^(it)) ? ( juste pour être sur que signifie le im ? )

Merci

[Sake]

Pourquoi on intégre spécialement sur R+ ? on ne nous a pas préciser l'intervalle ..

Sinon sur R+, le max est donc a t = 0 donc le max c'est a mais je ne vois pas comment tu as fais pour avoir ce résultat par la suite .. ;/



Dans ce cas Sin(t) = (e^(it)-cos(t))/i, pourquoi c'est également egal à im(e^(it)) ? ( juste pour être sur que signifie le im ? )

Merci

- Parce que c'est la définition de la transformée de Laplace. Revois ton cours.

- max(0, a-t) est une fonction, figure-toi. Elle est définie pour t décrivant R mais puisqu'on intègre entre 0 et l'infini (d'après ce que je viens de dire), il n'est pertinent que de regarder sa restriction à R+. Que vaut-elle en chaque t de R+ ?

- Attends, c'est niveau lycée ça !! On définit la forme algébrique d'un complexe sous la forme z = Re(z) + i*Im(z).

[Rik95]

- Parce que c'est la définition de la transformée de Laplace. Revois ton cours.

- max(0, a-t) est une fonction, figure-toi. Elle est définie pour t décrivant R mais puisqu'on intègre entre 0 et l'infini (d'après ce que je viens de dire), il n'est pertinent que de regarder sa restriction à R+. Que vaut-elle en chaque t de R+ ?

- Attends, c'est niveau lycée ça !! On définit la forme algébrique d'un complexe sous la forme z = Re(z) + i*Im(z).

Bah pour t = 0 elle vaut max(0, a), pour t = 1 elle vaut max (0,a-1) ... etc

Pour le sin(t) = im(e^(it)) je me doutais bien que Im signifier l'imaginaire mais je ne vois pas pourquoi im(e^(it)) = (e^(it)-cos(t))/i ?

[ilikoko123]

Rik95 -_- ne connais tu pas comment récupérer la partie imaginaire d'un nombre complexe ?

[Sake]

Bah pour t = 0 elle vaut max(0, a), pour t = 1 elle vaut max (0,a-1) ... etc

Pour le sin(t) = im(e^(it)) je me doutais bien que Im signifier l'imaginaire mais je ne vois pas pourquoi im(e^(it)) = (e^(it)-cos(t))/i ?

- Oui. Alors pourquoi t'entêtes-tu à ne pas faire de dessin de la fonction t -> max(0,a-t) alors que ça t'aiderait à te remettre les idées en place ?

- Tu es bien d'accord que e^(it) = cos(t) + i*sin(t) ?
Alors réécris-moi e^(it) en faisant apparaître Re(e^(it)) et Im(e^(it)). Qu'en déduis-tu ?

[Rik95]

Rik95 -_- ne connais tu pas comment récupérer la partie imaginaire d'un nombre complexe ?

Euh il y'a une méthode précise ? si c'est le cas je m'excuse pour ma bêtise mais je ne m'en souviens vraiment pas ... cela fais longtemps que je n'ai pas travailler avec des nombres complexe

- Oui. Alors pourquoi t'entêtes-tu à ne pas faire de dessin de la fonction t -> max(0,a-t) alors que ça t'aiderait à te remettre les idées en place ?

- Tu es bien d'accord que e^(it) = cos(t) + i*sin(t) ?
Alors réécris-moi e^(it) en faisant apparaître Re(e^(it)) et Im(e^(it)). Qu'en déduis-tu ?

Je vais essayer

[Rik95]

Je viens de comprendre ce que vous vouliez dire par im(e^it) x) dans ma tete s'etait ie^it, le réel est cos(t) et l'imaginaire est sin(t) parcontre je ne comprend pas comment tu as fais pour la suite des calculs Ilikoko123 :/ tu pourrai me donner un exemple stp ?

Pour le dessin Sake, cela me ramène a la même conclusion, la plus grande valeur est a quand t = 0, après la fonction est décroissante ... désolé mais je ne vois pas autre chose

[Sake]

Je viens de comprendre ce que vous vouliez dire par im(e^it) x) dans ma tete s'etait ie^it, le réel est cos(t) et l'imaginaire est sin(t) parcontre je ne comprend pas comment tu as fais pour la suite des calculs Ilikoko123 :/ tu pourrai me donner un exemple stp ?

Pour le dessin Sake, cela me ramène a la même conclusion, la plus grande valeur est a quand t = 0, après la fonction est décroissante ... désolé mais je ne vois pas autre chose

Oui ! Et tu ne vois pas qqchose de particulier quand t = a ?

[Rik95]

Si, quand t = a la fonction est nulle ...

[Sake]

Si, quand t = a la fonction est nulle ...

à partir de là, qui est le plus grand ? La fonction qui vaut 0 partout ou t -> a - t ?

[ilikoko123]

Je viens de comprendre ce que vous vouliez dire par im(e^it) x) dans ma tete s'etait ie^it, le réel est cos(t) et l'imaginaire est sin(t) parcontre je ne comprend pas comment tu as fais pour la suite des calculs Ilikoko123 :/ tu pourrai me donner un exemple stp ?

Pour le dessin Sake, cela me ramène a la même conclusion, la plus grande valeur est a quand t = 0, après la fonction est décroissante ... désolé mais je ne vois pas autre chose

par linéarité de l'intégral il te suffit de calculer l'intégral d'un exponentielle :lol3:
récupérer ensuite la partie imaginaire de l'intégral
pour être plus clair , f étant une fonction à valeurs complexes
il vient :
primitiver l’exponentielle c'est plus facile :id:

[Rik95]

à partir de là, qui est le plus grand ? La fonction qui vaut 0 partout ou t -> a - t ?

A partir de ce moment là c'est 0 le plus grand !

par linéarité de l'intégral il te suffit de calculer l'intégral d'un exponentielle :lol3:
récupérer ensuite la partie imaginaire de l'intégral
pour être plus clair , f étant une fonction à valeurs complexes
il vient :
primitiver l’exponentielle c'est plus facile :id:

On obtient donc im[(1/(i-p))*e^t(i-p)] de 3 a + l'infini si je ne me trompe pas ? Pour le calcul en 3 c'est facile mais en +infini je ne vois pas trop

[Sake]

A partir de ce moment là c'est 0 le plus grand !

Ben voilà. Et maintenant, quelle est la fonction que tu intègres ? Peux-tu m'écrire max(0, a - t) de manière implicite ?