Trigonométrie ,démonstration

[satochu]

Bonjour tout le monde , j'ai un petit problème sur un de mes devoir de math :

j'explique : si a , b , c sont les angles d'un triangle , montrez que

cos²a+cos²b+cos²c+2.cosa.cosb.cosc=1

alors pour l'instant le début se marque ainsi:

a+b+c = 180°
<=> a+b = 180° -c
<=> cos (a+b) = cos ( 180- c)

seulement apres avoir développé la formule ( cos (a+b) = cosa.cosb-sina.sinb))
je ne sais plus trop quoi faire :S

se serais simpas une petite aide pour ce casse tête qui sera surement pour vous un hors d'oeuvre goulu ^_^

merci d'avance ... Sato

[XENSECP]

ca a l'air fun en effet... pas le temps de m'y mettre correctement mais bon pour faire sérieux on parle en radian déjà ^^
Et puis, je pense que tu as juste à montrer que le gros machin vaut 1

Donc remplace c par Pi-a-b, applique les formules :

cos(Pi-a-b)=cos(a+b-Pi)= - cos(a+b)

cos(a)^2+cos(b)^2+cos(a+b)^2-2*cos(a)cos(b)cos(a+b)


cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)

cos(a+b)^2=cos(a)^2*cos(b)^2+sin(a)^2*sin(b)^2-2*cos(a)cos(b)sin(a)sin(b)


cos(a)²+cos(b)²+cos(a)²cos(b)²+sin(a)²sin(b)²-2cos(a)cos(b)sin(a)sin(b)-2cos(a)²cos(b)²+2cos(a)cos(b)sin(a)sin(b)

= cos(a)²+cos(b)²-cos(a)²cos(b)²+sin(a)²sin(b)²

cos(a)²=1-sin(a)²

donc
cos(a)²+cos(b)²-(1-sin(a)²)*cos(b)²+sin(a)²sin(b)²
=cos(a)²+sin(a)²(cos(b)²+sin(b)²)
=cos(a)²+sin(a)²
=1

Bon c'est compliqué long et chiant mais j'y suis arrivé... Une méthode + simple est probable mais à l'arrache à l'ordi en live je trouve ca pas mal

Merci à tous

[oscar]

Bonjour

Méthode plus simple

a+b= pi-c
cos (a+b) =-cos c
cos a cos b - sina sinb = -cos c
<=> cos a cos b +cos c =sinasinb
On élève au carré puis on remplace sin²a par 1-cos²a et sin²b = 1-cos ²b