Trigonalisation matrice
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jehu73
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par jehu73 » 02 Déc 2015, 22:03
bonjour,
je dois travailler sur une matrice et savoir si d'une par elle est diagonalisable et trigonalisable
-3 1 -2
M= -7 5 -1
-6 6 -1
j'ai trouvé le spectre = -2;5 avec -2 racine double
donc polynôme caractéristique p(y)=(x+2)²*(x-5)
je trouve au final que cette matrice n'est pas diagonalisable car mg pour la racine double = 1
par contre comment puis je savoir si elle est trigonalisable? est ce le fait que -2 et 5 soit dans la matrice?
merci pour votre aide
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Robot
par Robot » 02 Déc 2015, 22:08
Rien à voir.
N'as-tu pas dans ton cours une condition nécessaire et suffisante de trigonalisabilité. Du genre "si et seulement si le polynôme caractéristique est ...."
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jehu73
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par jehu73 » 02 Déc 2015, 22:35
Bonsoir. Je n ai pas encore eu le cours mais par contre on me demande sans calculs.
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Robot
par Robot » 02 Déc 2015, 22:46
jehu73 a écrit:Bonsoir. Je n ai pas encore eu le cours mais par contre on me demande sans calculs.
Bon, alors il faut ruser. Tu as déjà deux vecteurs propres linéairement indépendants, associés aux valeurs propres -2 et 5. Quelle tête aura la matrice de l'endomorphisme dans une base obtenue en complétant cette famille libre ?
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jehu73
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par jehu73 » 02 Déc 2015, 23:20
le vect pour -2 j'ai
(1)
(1)
(0)
le vect pour 5 j'ai
(1)
(1)
(0)
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jehu73
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par jehu73 » 02 Déc 2015, 23:27
la multiplicité de la racine double 2 est de 1 donc pas diagonalisable mais sachant que la multiplicité de 5 est aussi égalé à 1 cela veut il dire que le polynôme caracteristique est scindé , donc la matrice est trigonalisable?
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Robot
par Robot » 02 Déc 2015, 23:31
Je croyais que tu n'avais pas eu de cours ?
Je t'ai proposé une démonstration directe ne faisant pas appel à ce résultat du cours, mais tu n'as pas suivi ...
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jehu73
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par jehu73 » 02 Déc 2015, 23:48
J ai trouvé dans une vidéo sur YouTube..mais non je ne te suis pas.je devais au préalable vérifié si la matrice était diagonalisable.ce que j ai fait car la j ai eu le cours avec le calcul du det de la trace etc... Mais pour la trigonalisation je ne sais pas faire et je ne sais donc pas prouver si elle l ai ou pas.le fait qu elle ne soit pas diagonalisable veut peu être dire qu elle est trigonalisable?
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par jehu73 » 03 Déc 2015, 00:13
Quelqun peut il au moins me dire si mon raisonnement est bon?
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Robot
par Robot » 03 Déc 2015, 00:14
Je t'ai posé une question à laquelle tu n'as pas répondu :
Quelle tête aura la matrice de l'endomorphisme dans une base obtenue en complétant la famille libre formée de deux vecteurs propres ?
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jehu73
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par jehu73 » 03 Déc 2015, 00:33
Donc si j ai bien compris quand la dimension du sous espace vectoriel est différent de la multiplicité on sera trigonalisable?
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Robot
par Robot » 03 Déc 2015, 00:35
Non tu n'as pas bien compris, en tout cas ce que tu as formulé n'est pas vrai. Mais peut-être n'as tu pas écrit ce que tu voulais écrire.
@aymanemaysae : pourrais-tu perdre cette désagréable habitude de répondre à la place des initiateurs du fil ?
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jehu73
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par jehu73 » 03 Déc 2015, 00:41
Par contre ne doit on pas retrouver dans la diagonale de la matrice final -2; -2 et 5?
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par jehu73 » 03 Déc 2015, 00:43
La matrice de l endomorphine doit avoir sur sa diagonale les valeurs -2 et 5 je suppose? Et elle doit avoir une forme triangulaire?
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Robot
par Robot » 03 Déc 2015, 00:49
OK, les deux derniers messages sont plus pertinents. Tu peux justifier ce que tu annonces ?
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jehu73
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par jehu73 » 03 Déc 2015, 00:59
C est avec la matrice de passage?
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par jehu73 » 03 Déc 2015, 01:11
L espace vectoriel pour 5 est (1;-6;-7) et l espace vectoriel pour -2 est (1;1;0). La matrice de l endomorphine doit être sous la forme
5 0 a
0 -2 b
0 0 -2
Enfin je pense
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Robot
par Robot » 03 Déc 2015, 01:19
Ca serait bien que tu t'en convainques par un raisonnement nickel. Pour cela, il faudrait que tu t'exprimes plus précisément. Par exemple
"L espace vectoriel pour 5 est (1;-6;-7)"
est incorrect. Tu peux dire : "la droite vectorielle engendrée par (1;-6;-7) est le sous-espace propre associé à la valeur propre 5."
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par jehu73 » 03 Déc 2015, 01:35
et donc la droite vectorielle engendrée par (1;1;0) est le sous-espace propre associé à la valeur propre -2
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