Tribu

[marawita1]

Bonsoir,

J'ai besoin de vos aides dans cette question:

Soit un ensemble non vide non nécessairement dénombrable et une partie finie de .

Soit où désigne la tribu engendrée par .

Montrer si , alors est fini ou est fini.

[zygomatique]

salut

la plus grande tribu sur un ensemble fini A est P(A) ... qui ne contient que des ensembles finis ...

leur complémentaire dans X sont évidemment infinis ... (si X l'est) ...

[Ben314]

Salut,
Une tribu, ça doit être stable par réunion dénombrable et par passage au complémentaire et ta tribu , c'est la plus petite tribu qui contient les singletons {x} avec x dans A.
Elle doit donc contenir toutes les réunions dénombrables de singletons {x} avec x dans A, sauf que, comme A est fini, ça veut dire qu'elle doit contenir toutes les parties de A (et si A n'était pas fini, mais dénombrable, ça serait encore vrai). Comme elle doit être stable par passage au complémentaire, elle doit aussi contenir les complémentaires de toutes les parties de A.

Ensuite tu te dit : "qu'est-ce-qu'elle doit contenir d'autres à part ça ?" :
- Si on fait une réunion dénombrable d'ensembles Xi où les Xi sont tous soit des parties de A soit des complémentaires de parties de A, est ce que ça fait un "nouveau truc" ou pas ?
- Si on prend le complémentaire d'un ensemble X qui est soit une partie de A soit le complémentaires d'une partie de A, est ce que ça fait un "nouveau truc" ou pas ?
Qu'est ce que tu en déduit concernant l'ensemble composée des parties de A et de leur complémentaires ?
Et donc ....

[marawita1]

Salut,
Une tribu, ça doit être stable par réunion dénombrable et par passage au complémentaire et ta tribu , c'est la plus petite tribu qui contient les singletons {x} avec x dans A.
Elle doit donc contenir toutes les réunions dénombrables de singletons {x} avec x dans A, sauf que, comme A est fini, ça veut dire qu'elle doit contenir toutes les parties de A (et si A n'était pas fini, mais dénombrable, ça serait encore vrai). Comme elle doit être stable par passage au complémentaire, elle doit aussi contenir les complémentaires de toutes les parties de A.

Ok jusqu'à ici c'est compris

Ensuite tu te dit : "qu'est-ce-qu'elle doit contenir d'autres à part ça ?" :
- Si on fait une réunion dénombrable d'ensembles Xi où les Xi sont tous soit des parties de A soit des complémentaires de parties de A, est ce que ça fait un "nouveau truc" ou pas ?
- Si on prend le complémentaire d'un ensemble X qui est soit une partie de A soit le complémentaires d'une partie de A, est ce que ça fait un "nouveau truc" ou pas ?
Qu'est ce que tu en déduit concernant l'ensemble composée des parties de A et de leur complémentaires ?
Et donc ....

Franchement j'ai pas compris !!!!!

[Ben314]

C'est quoi que "tu ne comprend pas" ?
(il n'y a rien à comprendre : c'est deux questions que je te pose)

[marawita1]

Si j'ai bien compris: l'ensemble composé des parties de A et de leur complémentaires est une tribu sur X.

C'est ça?

[Ben314]

Oui.

[marawita1]

Ok merci pour votre aide. Appelons l'ensemble composé des parties de A et leur complémentaires.

C'est clair que , c'est clair aussi que est stable par passage au complémentaire.

Enfin, soit :

1- Soit tous les sont des parties de A, et dans ce cas leur réunion est aussi une partie de A; et

donc

2-Soit tous les sont les complémentaires des parties de A, et dans ce cas le complémentaire de

la réunion de est une partie de A, et parsuite

3- Soit les peuvent être un mélange des parties de A et de complémentaires des parties de A

Je suis bloquée dans ce cas!!!!!!!! Que ce qu'on peut dire pour ce cas?


Après puisque on a , alors on obtient le résultat demandé.

C'est ça?

[Ben314]

La réunion des , ça contient (évidement) n'importe lequel des .
Donc il suffit que l'un d'entre eux soit le complémentaire d'une partie de A pour que contienne le complémentaire d'une partie de A ce qui signifie que le complémentaire de B est contenu dans une partie de A.
Donc ce complémentaire est lui même une partie de A.
Bilan : dès qu'au moins un des est le complémentaire d'une partie de A, la réunion B des est elle même est le complémentaire d'une partie de A.

Après puisque on a , alors on obtient le résultat demandé.

Oui, mais il faut un peu détailler :
(1) est bien une tribu.
(2) contient évidement les singletons {x} avec x dans A.
(3) Toute tribu contenant les singletons {x} avec x dans A est forcée de contenir les parties de A et leur complémentaires donc contient forcément la tribu : c'est donc bien elle la plus petite tribu contenant les singletons {x} avec x dans A.

[marawita1]

Ok merci très bien Ben314.

Mais juste une petite question:

(3) Toute tribu contenant les singletons {x} avec x dans A est forcée de contenir les parties de A et leur complémentaires donc contient forcément la tribu : c'est donc bien elle la plus petite tribu contenant les singletons {x} avec x dans A.

Je déduis d'après ça que et non pas l'inverse!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

[Ben314]

Je déduis d'après ça que et non pas l'inverse!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Oui, mais comme est la plus petite tribu vérifiant cette inclusion (par définition d'une "tribu engendré par...") et que est elle même une tribu, ben c'est que c'est .

C'est exactement totalement le même type de raisonnement que par exemple pour les bornes supérieures dans R : Si tu montre que 5 est un majorant d'une partie A et que tout majorant de A est , ben ça prouve que la borne supérieure c'est 5.

[marawita1]

Ah ok et donc .

Magnifique