Tribu, Partition, Espérance conditionelle.

[epi1]

Bonjour,

je rencontre des difficultés avec un exercice.

Soient ;) = {w1,w2,w3,w4,w5,w6} un ensemble d'état de la nature. On munit cet ensemble de la probabilité uniforme.

1) Donner la tribu correspondant à l'information minimale. Donner la tribu correspondant à l'information maximale.
2) Trouver la tribu, et sa partition associée, correspondant à l'information suivante: vous êtes informé si le tirage est égal (ou non) à w1, et si ce même résultat est égal (ou non) à w4.
3) Soit X la fonction de dans R telle que X(w1) = 1 = X(w2) et X(w3) =X(w4) = X(w5) = X(w6) = 0. Expliciter A, la tribu engendrée par X: par définition, c'est la plus petite tribu sur telle que X :;) ;) R est une variable aléatoire quand on ;) munit de A. Trouver la partition associée à A.
4) Soit Y la fonction de dans R définie par Y(wi) = i pour tout wi appartenant à ;) .
Expliciter l’espérance conditionnelle de Y sachant X, notée E(Y/X) (ou X est donnée à la question 3). Montrer qu'il existe une fonction f:{0;1} ;) R telle que E(Y/X) = f(X). Expliciter cette fonction f.

Mes réponses:

1) La tribu correspondant à l'information minimale est la tribu grossière définie par: A= {;),;)}.
La tribu correspondant à l'information maximale est la tribu discrète définie par: A=P(;)).

2) La tribu correspondant à cette information est:
A={ ;),;),{w1},{w4},{w2,w3,w5,w6},{w1,w4},{w2,w3,w5,w6} }.

ou {w1},{w2,w3,w5,w6},{w4} représente l'information "on sait si le résultat est égale à w1 (respectivement w4) et qu'il n'est pas égale à w4 (respectivement w1)".
et {w1,w4},{w2,w3,w5,w6} représente l'information " on sait si le résultat est égale à w1 (respectivement w4) et qu'il également égal à w4 (respectivement w1)".

3) La tribu engendrée par X est:
;)(X)= { ;),;),{w1,w2},{w3,w4,w5,w6} }.

La partition associée à cette tribu est: P(A)= { {w1,w2},{w3,w4,w5,w6} }.

j'éprouve des difficultés à traiter la question 4). Corrigez moi si je me trompe mais E(Y/X)= E(Y/;)(X)).
Auquel cas E(Y/;)(X))= ;) ((Y*Iai)/P(Ai))*Iai

Avec Iai l'indicatrice de Ai et A1={w1,w2} et A2={w3,w4,w5,w6} ?

Merci pour votre aide.

[epi1]

quelqu'un svp ??