Tribu engendrée

[marawita1]

Bonsoir,

Soit où et est la tribu borélienne de .

Montrer que S est exactement la tribu engendrée par les intervalles .


J'ai montrée que S est une tribu, de plus c'est clair que S contient pour tout a>0.

Il reste à montrer que S est la plus petite tribu contenant

]-a, a[ c.à.d on prend une autre tribu T contenant ]-a , a [ pour tout a>0 et on montre que .

Je suis bloquée, je n'arrive pas à montrer ça!!!!!!!!.

[Ben314]

Salut,
Une piste (éventuelle ???) :
On pose et .
Sauf erreur, on a et on conclue.

(j'ai pas vérifié que ça marche...)

[marawita1]

C'est quoi ? et pourquoi S' est égale à ça? (il faut montrer cette égalité tout d'abord, non? c'est pas clair pour moi)

[Ben314]

Ben Bor([0,+oo[), c'est les boréliens de [0,+oo[, c'est à dire la tribu (de [0,+oo[) engendrée par les ouverts de l'espace topologique [0,+oo[.
Et effectivement, il faut démontrer l'égalité S'=Bor([0,+oo[) puis démontrer l'inclusion de Bor([0,+oo[) dans T' puis de nouveau démontrer que ça implique que S est inclus dans T.

Bref, je te "vend pas" du tout cuit, mais uniquement une piste qui, à mon avis fonctionne, mais qui n'est surement pas la seule piste possible...

Ensuite, cette piste est plus ou moins bonne selon que tu as déjà entendu parler ou pas de Bor([0,+oo[).
Si tu en as jamais entendu parler, je pense que les deux truc à démontrer, c'est que Bor([0,+oo[) est engendré par les ]a,b[ avec 0<a<b (ou les [0,a[ avec a>0) puis que Bor([0,+oo[) c'est en fait l'ensemble des borélien A de R qui sont contenus dans [0,+oo[.

[marawita1]

Ok merci bien Ben , bien sur je ne veux pas une solution mais plutôt une piste qui conduit à la solution.

Je vais suivre votre idée et j’espère que je trouverai le résultat voulu.