Triangle équilatéral et complexes

[mathelot]

bonjour,
je ne vois pas comment montrer l'équivalence:
1)A(a),B(b),C(c) triangle équilatéral
2) j ou j^2 racines du polynome az^2+bz+c.


Bon, finalement je vois que (2) équivaut à 1 car j^2+j+1=0.

Autre question:
déterminer l'image de U\{i} par
où U est le cercle unité.

merçi d'avance.

[yos]

Pour la première question tu as un meilleur argument j'espère.
Pour la seconde, si on pose , on obtient f (à vérifier).

[nuage]

Salut,
pour la deuxième question on peut remarquer que et que la transformation est donc composé d'une inversion de pôle i d'une symétrie axiale et d'une similitude directe. L'image d'un cercle passant par i est donc une droite. Ce qui redonne le résultat de Yos (en moins précis).

[mathelot]

merçi beaucoup pour vos réponses, j'ai du mal à déterminer l'image
d'ensembles usuels (droites,cercles,coniques,disques) par l'inversion :hum:
j'imagine que le fait qu'elle soit involutive va diviser le travail par deux.

Quelle est la méthode ? coordonnées polaires ?

cordialement,

[nuage]

Salut,
n'est pas une inversion : c'est la composée d'une inversion de pôle 0 et de puissance 1 avec la symètrie par rapport à l'axe des réels.
Pour une inversion de pôle 0 il faut prendre. Et en général on prend .

Pour ton exo, si tu maitrise mal ce genre de choses, je te recomande la méthode de Yos : dans ce cas elle est plus simple. Je n'ai pas vérifié son calcul, mais, à vue de nez, il doit être juste.

Sinon, pour une démo concernant il me semble que le plus simple et d'utiliser des équations paramétriques et un peu de trigo.