Triangle, équation, droite, distance

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Bonjour à tous,

Je dois répondre à la question principale suivante: "Soit A,B,C, trois points du plan R². Soit d(A,I) la distance euclidienne du point A au point I. Prouver que l'ensemble des points I(xi,yi) du plan qui NE sont PAS tels qu'il existe un point J(xj,yj) dans le plan tel que d(A,J)<=d(A,I), d(B,J)<=d(B,I), d(C,J)<=d(C,I) et pour au moins un des points X appartenant à l'ensemble {A,B,C}, d(X,J)
Je n'essaye même pas de décrire ce que j'ai essayé de faire parce que je suis complètement perdu.

A l'aide SVP.

:triste:

[yos]

l'ensemble des points I(xi,yi) du plan qui NE sont PAS tels qu'il existe un point J(xj,yj) dans le plan tel que d(A,J)<=d(A,I), d(B,J)<=d(B,I), d(C,J)<=d(C,I) et pour au moins un des points X appartenant à l'ensemble {A,B,C}, d(X,J)<d(C,I)

Bonsoir.
C'est effectivement rebutant comme énoncé.
Peux-tu me confirmer que le dernier C est en fait un X ?

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Bonsoir,

Bonsoir.
C'est effectivement rebutant comme énoncé.
Peux-tu me confirmer que le dernier C est en fait un X ?

Oui, pardon, c'est:

l'ensemble des points I(xi,yi) du plan qui NE sont PAS tels qu'il existe un point J(xj,yj) dans le plan tel que d(A,J)<=d(A,I), d(B,J)<=d(B,I), d(C,J)<=d(C,I) et pour au moins un des points X appartenant à l'ensemble {A,B,C}, d(X,J)<d(X,I)

Sinon j'ai supposé que pour une direction de la preuve on pouvait montrer que le système d'inégalités en choisissant A pour X n'avait pas de solution, de même pour B et C... Mais le système en question est loin d'être élégant. Et il me semble ça ne prouverait qu'une seule direction...

Ah oui c'est l'ensemble des points inclus dans le traingle mais c'était sans doute déjà clair...

[yos]

Les inégalités entraînent que J appartient aux trois disques de centre A de rayon IA, de centre B de rayon IB, de centre C de rayon IC.

Si I est dans le triangle, ces trois disques ont un seul point commun : I donc J=I (a fortiori, il n'y a pas de point permettant que l'une des 3 inégalités soit stricte). Ceci prouve que les points du triangles appartiennent à l'ensemble E cherché.

Il reste à prouver que ce sont les seuls. Pour ceci, on prend un point extérieur au triangle et on peut "voir" que les trois disques ont une intersection non réduite à I : les points à l'intérieur du haricot d'intersection font strictement mieux que I.
Tu peux peut-être argumenter autrement pour ce dernier point : en prenant I extérieur à ABC, on peut construire un point J faisant strictement mieux que I. Par exemple si [IA] coupe le segment [BC] , le point d'intersection convient parfaitement. Il faudrait regarder les autres cas.

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Tu peux peut-être argumenter autrement pour ce dernier point : en prenant I extérieur à ABC, on peut construire un point J faisant strictement mieux que I. Par exemple si [IA] coupe le segment [BC] , le point d'intersection convient parfaitement. Il faudrait regarder les autres cas.

Merci beacoup pour le coup de main.

Dans la région du plan définie par [AB) et [AC) on a ce que tu dis. Soit C' le symétrique de C par rapport à A, B' le symétrique de B par rapport A. Dans la région définie par [AB') et [AC'), A est strictement meilleur que I, non? Pareil pour les autres sommets. non?

[yos]

Tu sembles avoir compris les idées mais c'est dur d'être rigoureux dans cet exercice.
C'est pas si clair que dans le secteur (privé du triangle), le point d'intersection J de (AI) et [BC] soit toujours meilleur que I : quand on projette orthogonalement B sur (AI), on obtient un point H plus près de B que tout autre point de la droite (AI). Si H=I, le point J est moins bon. Ce genre de difficulté doit se contourner. Bon courage.
L'autre cas que tu traites (secteur ) me semble bon.

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Effectivement ce n'est pas si simple pour l'autre cas, je vais regarder ça. Merci!