Triangle et entiers naturels

[mathelot]

bonjour,


un triangle est dit "résoluble" s'il est parfaitement défini (cf. 3 cas d'égalité
des triangles)
Le triangle possède des attributs: mesures de longueur des médianes,
hauteurs , bissectrices,symédianes, angles, sinus, cosinus,aire,périmètre, etc..)

Exhiber un ou des triangles qui ont le maximum d'attributs entiers naturels.

bonne soirée.

cf. ici

[mathelot]

Le triangle ABC est tel que AC = 13 ; AB = 14 et BC = 15. Soient H, J, K les pieds des hauteurs respectivement des sommets C, A, B. Montrer que CH est un nombre entier. Montrer que AJ est un nombre décimal. Montrer que BK est un quotient d'entiers. Proposer ensuite un triangle dont les trois côtés et les trois hauteurs aient pour longueur des nombres entiers.

Soient S la mesure d'aire ; a,b,c les longueurs BC,AC,AB et

mesure d'aire S


mesure d'aire S

mesure d'aire S

mesure d'aire S


le triangle de mesure de côtés (845,910,975) a ses côtés et hauteurs de longueur entière.

[chan79]

salut
idem pour 30,40,50
avec une médiane de 25

[Robic]

J'ai vu ce problème quelque part... ah oui : dans un document qui expliquait le LaTeX pour les matheux.

Ah, j'ai trouvé ! Ici : http://math.univ-lyon1.fr/irem/IMG/pdf/LatexPourProfMaths.pdf , voir page 113 « triangle eulérien ».

[takezo]

Bonsoir,

Ohé du bateau...

** Triangles Scalènes ayant leur orthocentre à distances entières des sommets **
côtés distances
Périmètre : 312 * 117 120 75 --- 44 100 35
Périmètre : 324 * 120 126 78 --- 50 104 32
Périmètre : 336 * 112 120 104 --- 66 78 50
Périmètre : 360 * 116 144 100 --- 87 105 17
Périmètre : 364 * 116 143 105 --- 87 100 24
Périmètre : 420 * 150 168 102 --- 80 136 26
Périmètre : 440 * 150 154 136 --- 80 102 72
Périmètre : 462 * 175 176 111 --- 60 148 57
Périmètre : 476 * 153 175 148 --- 104 111 60
Périmètre : 486 * 180 189 117 --- 75 156 48
Périmètre : 504 * 168 180 156 --- 99 117 75
Périmètre : 510 * 187 200 123 --- 84 164 45
Périmètre : 520 * 164 200 156 --- 123 133 45
Périmètre : 528 * 204 220 104 --- 85 195 21
Périmètre : 570 * 195 204 171 --- 104 140 85

** Triangles Scalènes ayant un rayon du cercle circonscrit entier **

Périmètre : 324 * 120 78 126 rayon : 65
Périmètre : 336 * 112 104 120 rayon : 65
Périmètre : 420 * 150 102 168 rayon : 85
Périmètre : 440 * 150 136 154 rayon : 85

** Triangles Scalènes ayant un Centre de gravité à distances entières des sommets **

Périmètre : 300 * 99 114 87 --- 59 65 49
Périmètre : 324 * 113 137 74 --- 63 80 44
Périmètre : 330 * 105 141 84 --- 69 78 42
Périmètre : 378 * 135 144 99 --- 69 87 62
Périmètre : 390 * 132 135 123 --- 74 79 72
Périmètre : 400 * 146 166 88 --- 74 100 58
Périmètre : 416 * 131 158 127 --- 85 87 68
Périmètre : 432 * 144 177 111 --- 86 101 62
Périmètre : 440 * 140 188 112 --- 92 104 56
Périmètre : 448 * 154 178 116 --- 86 104 68
Périmètre : 456 * 144 183 129 --- 94 101 67
Périmètre : 468 * 159 171 138 --- 89 100 81
Périmètre : 486 * 175 178 133 --- 87 109 84
Périmètre : 490 * 193 214 83 --- 87 133 68
Périmètre : 490 * 164 205 121 --- 98 117 67
Périmètre : 490 * 160 193 137 --- 98 109 75
Périmètre : 504 * 186 216 102 --- 94 130 69
Périmètre : 504 * 180 192 132 --- 92 116 83
Périmètre : 506 * 143 236 127 --- 117 123 44
Périmètre : 528 * 201 243 84 --- 101 146 63
Périmètre : 540 * 206 218 116 --- 94 136 84
Périmètre : 544 * 160 247 137 --- 122 131 55
Périmètre : 550 * 221 226 103 --- 91 145 86
Périmètre : 550 * 175 235 140 --- 115 130 70
Périmètre : 550 * 187 221 142 --- 107 128 82
Périmètre : 550 * 184 199 167 --- 106 115 96
Périmètre : 572 * 209 212 151 --- 101 131 98
Périmètre : 594 * 212 269 113 --- 118 157 69
Périmètre : 600 * 219 249 132 --- 111 150 87
Périmètre : 600 * 216 237 147 --- 110 143 94
Périmètre : 600 * 198 228 174 --- 118 130 98

** Triangles Scalènes ayant leur centre du cercle inscrit à distances entières des sommets **

Périmètre : 770 * 250 289 231 --- 153 170 120 rayon : 72.0
Périmètre : 1134 * 375 507 252 --- 208 325 100 rayon : 80.0

En fait, j'ai commencé par tester avec le centre du cercle circonscrit et je n'ai pas trouvé de de points pour un périmètre <=300

Pour l'orthocentre, entre 40 et 300 de périmètre, j'ai encore :
Périmètre : 162 * 60 63 39 --- 25 52 16
Périmètre : 168 * 56 60 52 --- 33 39 25
Périmètre : 210 * 75 84 51 --- 40 68 13
Périmètre : 220 * 75 77 68 --- 40 51 36

J'aurais aimé trouver un triangle scalène (équilatéral, c'est plus du tout la même problématique...) avec toutes les propriétés.

J'irais voir le lien demain.

Bye

PS : pas vu qu'il s'agissait des hauteurs et non des distances de l'orthocentre aux sommets...
Je vais tâcher d'y réfléchir...

[takezo]

Salut,

Toutes mes excuses : je suis désolé, j'étais aussi à côté de la plaque pour les médianes, bissectrices, médiatrices : je cherchais les distances entières des points particuliers aux sommets
Si j'ai rectifié le tir pour les hauteurs, ça va être plus long pour le reste (médianes en cours)...

Au risque de vous ennuyer, résultat des modifications pour les hauteurs:
** Triangles Scalènes ayant leurs hauteurs entières **

Périmètre : 2600 * 975 1000 625 --- 600 585 936
Périmètre : 2730 * 910 975 845 --- 780 728 840

Il y avait donc un autre triangle avant celui de Mathelot avec un périmètre plus petit (rien avantet rien après jusqu'à un périmètre de 2300)..

Bye

[EDIT]
** Triangles Scalènes ayant des médianes de longueurs entières **

Périmètre : 480 * 170 174 136 --- 131 127 158
Périmètre : 832 * 262 316 254 --- 255 204 261
Périmètre : 960 * 340 348 272 --- 262 254 316