Transformée de Fourier, coefficiants et imaginaire

[nicolasfromuk]

Bonjour à tous et à toutes

Je suis en train de travailler sur les Transformée de Fourier Discrètes pour mon mémoire de fin d’études. Et là je colle sévère sur un truc tout simple et pour tout vous dire je commence sérieusement à déprimer. Donc si quelqu’un peut me dépanner ca serai vraiment super sympas.

Ma question est la suivante :

Fourier a démontré que tout signal périodique peu être décomposé en une somme infini de sinusoïdes. C’est ce qu’on appelle les séries de Fourier.
Puis en généralisant ca à une somme fini de sinusoïdes on a obtenu les séries de Fourier Discrètes.

Puis, on a généralisé le cas à tous les signaux, périodique ou non, et on dit que tout signal peu être décomposer en une somme infini (Transformée de Fourier) ou fini (Transformée de Fourier Discret) de fonctions trigonométriques de la forme :

f(t) = ak*cos(2*pi*f*t) + bk*sin(2*pi*f*t)
Ou ak et bk sont justement les coefficients de Fourier pour une fréquence donnée

Jusqu’ici pas de problème, c’est simple à comprendre c’est la théorie. Par contre là ou je comprends plus rien c’est la pratique.

Que l’on raisonne en Transforme de Fourier ou en Transforme de Fourier Discrète
on a :

S(f) = somme(s(t)*exp(-i*2*pi*f*t))

En utilisant notre brave Euler

exp(-ix) = cos(x)-isin(x)

On obtient.

S(f) = somme(s(t)*(cos(2*pi*f*t) - i*sin(2*pi*f*t))

Dire qu’un signal peut être décomposé en fonctions de la forme.
f(t) = ak*cos(2*pi*f*t) + bk*sin(2*pi*f*t)
Ok c’est simple à admettre.
Par contre dire d’un signal peut être décomposé en fonctions de la forme.
f(t) = s(t)*(cos(2*pi*f*t) - i*sin(2*pi*f*t)
Ba la je comprends plus. Il vient faire quoi l’imaginaire ? Et les coefficients ils sont parti ou?

Quelqu’un peu m’aidez svp?

[kazeriahm]

justement quand tu sommes sur les fonctions exponentielles tu sommes sur Z (les entiers relatifs) alors que quand tu sommes sur les fonctions sin et cos, tu sommes sur N (les entiers).

Il n'y a rien d'anormal, ca te permet d'obtenir des relations entre les coefficients, selon que tu préféres décomposer ta fonction en sin/cos ou en exponentielle.

[nicolasfromuk]

Desole, j'ai vraiment compris ton explication.

mais en gros ma question c'est comment on passe de

un signal peu etre decompose en somme de fonctions
f(t) = ak*cos(2*pi*f*t) + bk*sin(2*pi*f*t)

a

un signal peu etre decompose en somme de fonctions
f(t) = s(t)*(cos(2*pi*f*t) - i*sin(2*pi*f*t)

[Riemann]

mais en gros ma question c'est comment on passe de

un signal peu etre decompose en somme de fonctions
f(t) = ak*cos(2*pi*f*t) + bk*sin(2*pi*f*t)

a

un signal peu etre decompose en somme de fonctions
f(t) = s(t)*(cos(2*pi*f*t) - i*sin(2*pi*f*t)

bonjour,
que vaut s(t)?

[kazeriahm]

on a



mais également

par parité du cos et imparité du sin que a_k=c_k+c_-k et que b_k=c_k-i*c_-k

[nicolasfromuk]

bonjour, s(t) c'est mon signal

[nicolasfromuk]

kazeriahm,

C'est koi la deusieme formule? comment on la demontre?

merci pour ton aide en tout cas

[Riemann]

bonjour, s(t) c'est mon signal

en utilisant la formule d'inversion, vous pouvez écrire le signal en fonction de sa transformée de Fourier.

[kazeriahm]

il suffit d'identifier les coefficients en transformant l'exponentielle grace a la formule d'euler on a c_k exp(2 i k pi t) + c_-k exp(-2 i k pi t) = (c_k + c_-k) cos(2 k pi t) + i (c_k - c_-k) sin(2 k pi t) donc en identifiant...

parcontre j'ai un doute sur ce que tu viens de dire, je croyais que quand tu marquais s(t) tu voulais dire s(f) (t'aurai fai une faute de frappe), s c'est bien le coefficient associé à la fréquence f ?

[nicolasfromuk]

oui oui Riemann

merci mais cest pas se que je cherche, je cherche a comprendre comment on passe de

Un signal peut être décomposé en fonctions de la forme.
f(t) = ak*cos(2*pi*f*t) + bk*sin(2*pi*f*t)

a

Un signal peut être décomposé en fonctions de la forme.
f(t) = s(t)*(cos(2*pi*f*t) - i*sin(2*pi*f*t)

il semblerai k'il faille passer par:
Un signal peut être décomposé en fonctions de la forme.
f(t) = Ck*exp(i*2*pi*f*t)

en utilisant la parite de cos pour ak et l'imparite de sin pour bk mais je coinsse dessus now

[nicolasfromuk]

kazeriahm

Je vais regarder attentivement ce que tu m'as dit dans le premier pharagraphe de ta reponse.

De ce que j'ai compris en regardant les formules de Transformee de Fourier,
s(t) c'est tout simplement mon signal.

Dans mes explications je ne met pas les sommes car je dis, "peu etre decomposser en fonction de la forme ..."

[kazeriahm]

j'ai bien compris le fait que tu ne mette pas les sommes

ce que je ne comprend pas c'est ce que tu fais

le signal que tu décompose c'est f? sinon qui est f?

[nicolasfromuk]

kazeriahm

Dsl je comprend vraiment pas ton explication.

dans mon point de depart

"un signal peut être décomposé en fonctions de la forme.
f(t) = ak*cos(2*pi*f*t) + bk*sin(2*pi*f*t)"

J'ai pas de truc imaginaire ou autres, Un truc tout simple.

Si j'utilise Euler ca veut dire au'il y a des imaginaires or c'est pas mon cas.

Pourtant a la sortie j'ai des imaginaires

"un signal peut être décomposé en fonctions de la forme.
f(t) = s(t)*(cos(2*pi*f*t) - i*sin(2*pi*f*t)"

Je susi completement perdu. J'ai passer ma journee dessus et sur le net pour essayer de comprendre... :( je susi au bord du decouragement.... :mur:

[nicolasfromuk]

Le signal que je decompose, dans mon premier truc je ne le met pas. je dit tous simplement que ce signal "machin" on peut le decomposer sous plein de fonction f(t).

Et dans le deusieme truc mon signal s'appel s(t)

Et effectivement la ou c'est pas clair dans ce que j'ai ecrit. c'est que j'appel mes fonctions f(t) aussi. j'aurai du les appeller f(f) ou un truc du genre

[kazeriahm]

lol un peu de sang froid

je pense que tu fais une confusion, ici tu cherches a decomposer f comme somme de sinusoides

la deuxieme formule de ton message n'a pas de sens

tu n'as pas de soucis à te faire si tu as des nombres complexes non réels qui interviennent, c'est normal, au final tu te retrouves bien avec un nombre réel car c_k et c_-k sont deux nombres complexes conjugués donc quand tu veux revenir au cos et au sin, tu te retrouves bien avec des nombres réels si tu regardes les formules entre a_k, b_k et c_k ke je tai donné

[kazeriahm]

mais non sinon qui est f si s c'est ton signal

[nicolasfromuk]

Ba justement pour moi la deusieme formule de mon message c'est la formule de la Transforme de Fourier. Qui me sert a decoposser mon signal sous forme de sinusoides. J'aurai pas du appele les resultats des fonction de la forme f(t)

[nicolasfromuk]

Je vais continuer a regarder ce que tu m'as dit avec les formules, merci en tout ca.

Si j'y arrive tjs pas, je ferrai un document plus propre en clarifiant bien se que j'ai et ce que je cherche.