Transformations du plan-applications affines

[papino]

Le plan est muni d'un repère orthonormé
soit f l'application affine du plan P d'expression analytique

x'= 2x-5y+2
y'= x-2y
pour tout point M de P, on désigne par M1, M2 et M3 les points tels que: M1=f(M), M2=f(M1), M3=f(M2)
1-a démontrer que l'image par f d'une droite (D) est une droite (D') non parallèle (D)
b- en déduire que pour tout point M de P, les points M, M1 et M2, lorsqu'ils sont distincts, ne sont pas alignés
2- Préciser la nature des applications fof et fofofof
3-a- Démontrer que l'isobarycentre G des points, M, M1, M2, et M3 est indépendant du point M et en déduire que G est le seul point invariant par f
b- faire une figure lorsque M est le point de coordonnées (2;1)

j'ai des soucis avec le 1-a et le 3-a je ne sais vraiment pas par où passer :triste: :triste: :triste:

Cordialement

[Ben314]

Salut,

As-tu-vu la notion d'application linéaire F associée à une application affine f ?
- Si oui, ça permet de simplifier (un peu) la réponse à la question 1-a : si une droite D est dirigée par un vecteur u, alors son image f(D) est dirigée par F(u) et la question se ramène à voir s'il est possible que u et F(u) soient colinéaires (et si tu as vu la notion de valeur propre/vecteurs propres...)
- Si non, ben tu prend un point A:(xA,yA) et un vecteur u:(xU,yU) et tu regarde quelle est l'image par f de la droite passant par A et dirigée par u...

Pour le 3-a, c'est de nouveau 2 méthode selon ce que tu as déjà vu :
- Rapide (mais avec de la culture) : tu as vu que, si f1, f2,... fn sont des applications affines, alors l'application qui à un point M associe le barycentre (avec des pondérations quelconques, mais fixées) de f1(M), f2(M),... fn(M) est elle même affine et tu sait quelle est son application linéaire associée : tu conclue en quelque lignes à l'aide de la question 2.
- Soit ça te dit rien et je pense que tu est bon pour partir d'un M:(x,y) quelconque, calculer les coordonnées de M1, M2, M3 en fonction de x et y (tu risque de l'avoir déjà fait à la question 2) puis calculer les coordonnées de l'isobarycentre des 4 points.