[MPSI] Transformations affines du plan

[Anonyme]

Bonjour à tous

Est-il vrai qu'une transformation du plan transformant une doite en une
droite est nécessairement affine ?

Toute aide serait bienvenue !

[Anonyme]

On Sun, 22 Feb 2004 12:29:53 GMT, "FGeoffrey"
wrote:

>Bonjour à tous
>
>Est-il vrai qu'une transformation du plan transformant une doite en une
>droite est nécessairement affine ?
une inversion de centre I transforme toute droite D passant par I
en la droite D elle même , à condition de considérer que I et le point
à l'infini de D sont homologues;

>Toute aide serait bienvenue !
>
>

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Pichereau Alain

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http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )

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[Anonyme]

"Marc Pichereau" a écrit dans le
message de news: 4038f39e.1883835@news.wanadoo.fr...
> On Sun, 22 Feb 2004 12:29:53 GMT, "FGeoffrey"
> wrote:
>[color=green]
> >Bonjour à tous
> >
> >Est-il vrai qu'une transformation du plan transformant une doite en une
> >droite est nécessairement affine ?
> une inversion de centre I transforme toute droite D passant par I
> en la droite D elle même , à condition de considérer que I et le point
> à l'infini de D sont homologues;
>
> >Toute aide serait bienvenue !
> >
> >[/color]

Oui, mais une inversion ne transforme pas une droite ne passant pas par I en
une droite

De plus, les inversions ne sont pas des transformations du plan, donc sont
exclues

FGeoffroy, peux-tu préciser ton énoncé ?

Le corps de base est-il réel ou quelconque ?
Est-ce que tu supposes que l'application transforme toute droite en une
droite (de manière surjective), ou que l'image de toute droite est incluse
dans une droite (ce qui est plus faible, et inclut les transformations
affines non bijectives)

[Anonyme]

"FDH" wrote in message
news:4038fcce$0$21669$636a15ce@news.free.fr...
>
> "Marc Pichereau" a écrit dans
le
> message de news: 4038f39e.1883835@news.wanadoo.fr...[color=green]
> > On Sun, 22 Feb 2004 12:29:53 GMT, "FGeoffrey"
> > wrote:
> >[color=darkred]
> > >Bonjour à tous
> > >
> > >Est-il vrai qu'une transformation du plan transformant une doite en une
> > >droite est nécessairement affine ?
> > une inversion de centre I transforme toute droite D passant par I
> > en la droite D elle même , à condition de considérer que I et le point
> > à l'infini de D sont homologues;
> >
> > >Toute aide serait bienvenue !
> > >
> > >[/color]
>
> Oui, mais une inversion ne transforme pas une droite ne passant pas par I[/color]
en
> une droite
>
> De plus, les inversions ne sont pas des transformations du plan, donc sont
> exclues
>
> FGeoffroy, peux-tu préciser ton énoncé ?
>
> Le corps de base est-il réel ou quelconque ?
> Est-ce que tu supposes que l'application transforme toute droite en une
> droite (de manière surjective), ou que l'image de toute droite est incluse
> dans une droite (ce qui est plus faible, et inclut les transformations
> affines non bijectives)
>
>
Le corps de base est R et l'image de toute droite du plan doit être une
droite (et non une partie d'une droite).

[Anonyme]

On Sun, 22 Feb 2004 20:02:38 +0100, "FDH" wrote:

>
>"Marc Pichereau" a écrit dans le
>message de news: 4038f39e.1883835@news.wanadoo.fr...[color=green]
>> On Sun, 22 Feb 2004 12:29:53 GMT, "FGeoffrey"
>> wrote:
>>[color=darkred]
>> >Bonjour à tous
>> >
>> >Est-il vrai qu'une transformation du plan transformant une doite en une
>> >droite est nécessairement affine ?
>> une inversion de centre I transforme toute droite D passant par I
>> en la droite D elle même , à condition de considérer que I et le point
>> à l'infini de D sont homologues;
>>
>> >Toute aide serait bienvenue !
>> >
>> >[/color]
>
>Oui, mais une inversion ne transforme pas une droite ne passant pas par I en
>une droite[/color]
que je sache , je n'ai jamais dit le contraire ;
dans la question initiale, il était question d'une SEULE droite
>De plus, les inversions ne sont pas des transformations du plan, donc sont
>exclues
>
tiens pourquoi?
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[Anonyme]

On Sun, 22 Feb 2004 19:47:29 GMT, "FGeoffrey"
wrote:

[color=green][color=darkred]
>> > >Bonjour à tous
>> > >
>> > >Est-il vrai qu'une transformation du plan transformant une doite en une
>> > >droite est nécessairement affine ?[/color][/color]

[color=green]
>>
>Le corps de base est R et l'image de toute droite du plan doit être une
>droite (et non une partie d'une droite).
>[/color]
bon , s'il s'agit maintenant de toute droite , ca doit être vrai
mais je crois qu'il faut rajouter une hypo d'injectivité ;
si j'ai le temps je regarderai en détail demain;

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[Anonyme]

> >Oui, mais une inversion ne transforme pas une droite ne passant pas par I
en[color=green]
> >une droite
> que je sache , je n'ai jamais dit le contraire ;
> dans la question initiale, il était question d'une SEULE droite[/color]
Oui, bien sûr, mais je ne pense pas que c'était le sens de la question
initiale
[color=green]
> >De plus, les inversions ne sont pas des transformations du plan, donc[/color]
sont[color=green]
> >exclues
> >
> tiens pourquoi?[/color]
Parce qu'une inversion n'est pas définie dans tout le plan

[Anonyme]

Mon énoncé n'était pas assez précis; je le reformule donc:
Soit P un plan affine euclidien P (donc sur le corps R) et une bijection F
de P dans P tel que :
Pour toute droite D du plan, F(P) est une doite.
Montrer que F est affine.

[Anonyme]

"FGeoffrey" a écrit dans le message de news:
527a39f64f82342bcbe21d7ab37cda05@news.teranews.com...
> Mon énoncé n'était pas assez précis; je le reformule donc:
> Soit P un plan affine euclidien P (donc sur le corps R) et une bijection F
> de P dans P tel que :
> Pour toute droite D du plan, F(P) est une doite.
> Montrer que F est affine.
>
>
Je trouve quelque chose assez compliqué : je me demande s'il n'y a pas plus
simple

1) Montrer que F conserve le parallélisme (si D et D' sont parallèles, alors
F(D) et F(D') sont parallèles) : cette propriété vient de l'injectivité de F
2) Soit M un point fixé et (u,v) une base du plan. Il faut montrer que pour
tout (x,y) de R^2, F(M+xu+yv)=F(M)+xU+yV (avec U et V deux vecteurs
constants)
F transforme D=M+Ru en une droite D', passant par F(M). Appelons U un
vecteur directeur de D' : pour tout x de R, il existe g(x) dans R tel que
F(M+xu)=F(M)+g(x)U
On fixe maintenant x.
F transforme D(x)=M+xu+Rv en une droite D'(x) passant par F(M+xu), et la
direction de D'(x) est indépendante de x d'après la propriété 1) : soit V un
vecteur directeur de D'(x).
Il existe une fonction h de R^2 dans R telle que pour tous x,y :
f(M+xu+yv)=f(M)+g(x)U+h(x,y)V

En faisant le même raisonnement mais d'abord en faisant varier y, on obtient
: f(M+xu+yv)=f(M)+g'(x,y)U+h'(y)V, où g' est une fonction de R^2 dans R et
h' une fonction de R dans R.

Comme F est surjective, (U,V) est une base du plan, donc pour tous (x,y) :
g(x)=g'(x,y) et h(x,y)=h'(y).
On peut écrire en renommant les fonctions : F(M+xu+yv)=F(M)+g(x)U+h(y)V (g
et h sont des bijections de R dans R)
Pour simplifier j'écris F(x,y)=(g(x),h(y))

Il ne reste plus qu'à montrer que g et h sont linéaires.

Soit M0=(x0,y0) et M1=(x1,y1) et r un réel. Posons M2=r.M0+(1-r).M1
On a F(M2)=[g(r.x0+(1-r).x1),h(r.y0+(1-r).y1)].
D'autre part, M2 est sur la droite (M0M1), donc il existe i(r) un réel tel
que F(M2)=i(r)F(M0)+(1-i(r))F(M1), donc en identifiant les composantes :
Pour tous (x0,x1,r) : g(r.x0+(1-r).x1)=i(r).g(x0)+(1-i(r)).g(x1), idem avec
h

On arrive rapidement à i(r.x0+(1-r).x1)=i(r).i(x0)+(1-i(r)).i(x1)

Là je suis bloqué : je me demande s'il ne manque pas une hypothèse de
continuité sur F
On veut arriver à : pour tout r, i(r)=r

[Anonyme]

On Sun, 22 Feb 2004 23:05:27 +0100, "FDH" wrote:

[color=green][color=darkred]
>> >De plus, les inversions ne sont pas des transformations du plan, donc[/color]
>sont[color=darkred]
>> >exclues
>> >
>> tiens pourquoi?[/color]
>Parce qu'une inversion n'est pas définie dans tout le plan
>[/color]
certes ; donc on ne peut plus dire qu'une inversion transforme M en M'
tel que ..........?
en tout cas mon vieux bouquin de géomètrie ne se gênait pas ,lui, pour
dire que l'inversion de centre O est la transformation ponctuelle qui
à M différent de O fait correspondre ....
et aussi le Frenkel parle de transformations non partout définies (
les transformations homographiques)
enfin bon, si on n'a plus le droit...
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Pichereau Alain

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[Anonyme]

On Mon, 23 Feb 2004 10:13:03 GMT, "FGeoffrey"
wrote:

>Mon énoncé n'était pas assez précis; je le reformule donc:
>Soit P un plan affine euclidien P (donc sur le corps R) et une bijection F
>de P dans P tel que :
> Pour toute droite D du plan, F(P) est une doite.
>Montrer que F est affine.

1) montrer que 2 droites // ont des images //
2) montrer qu'il existe une application l
telle que pour tout vecteur u , tout point M
l(u) = le vecteur f(M)f(t_u(M))
3) montrer que l(u+v)=l(u)+l(v)
4) montrer que pour tout vecteur u il existe une appli g_u de R dans R

telle que qq soit x réel l(xu)=g_u(x)l(u)
5) montrer que g_u est en fait indépendante de u
(commencer par montrer que si u et v sont indépendants
g_u=g_v)
6) soit donc g l'appli telle que pour tout vecteur u, tout réel x
l(ux)=g(x)l(u):
montrer que g(x+y)=g(x)+g(y)
g(xy)=g(x)g(y)
g(1)=1
7) montrer que g est l'identité
preuve directe (sans évoquer les homomorphismes)
montrer que g est l'identité sur N,Z,Q
montrer que g est croissante (tout réel >=0 admet une racine carrée)
8) conclure
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Pichereau Alain

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[Anonyme]

"FDH" wrote in message
news:403a2304$0$28116$636a15ce@news.free.fr...
>
> "FGeoffrey" a écrit dans le message de news:
> 527a39f64f82342bcbe21d7ab37cda05@news.teranews.com...[color=green]
> > Mon énoncé n'était pas assez précis; je le reformule donc:
> > Soit P un plan affine euclidien P (donc sur le corps R) et une bijection[/color]
F[color=green]
> > de P dans P tel que :
> > Pour toute droite D du plan, F(P) est une doite.
> > Montrer que F est affine.
> >
> >
> Je trouve quelque chose assez compliqué : je me demande s'il n'y a pas[/color]
plus
> simple
>
> 1) Montrer que F conserve le parallélisme (si D et D' sont parallèles,
alors
> F(D) et F(D') sont parallèles) : cette propriété vient de l'injectivité de
F
> 2) Soit M un point fixé et (u,v) une base du plan. Il faut montrer que
pour
> tout (x,y) de R^2, F(M+xu+yv)=F(M)+xU+yV (avec U et V deux vecteurs
> constants)
> F transforme D=M+Ru en une droite D', passant par F(M). Appelons U un
> vecteur directeur de D' : pour tout x de R, il existe g(x) dans R tel que
> F(M+xu)=F(M)+g(x)U
> On fixe maintenant x.
> F transforme D(x)=M+xu+Rv en une droite D'(x) passant par F(M+xu), et la
> direction de D'(x) est indépendante de x d'après la propriété 1) : soit V
un
> vecteur directeur de D'(x).
> Il existe une fonction h de R^2 dans R telle que pour tous x,y :
> f(M+xu+yv)=f(M)+g(x)U+h(x,y)V
>
> En faisant le même raisonnement mais d'abord en faisant varier y, on
obtient
> : f(M+xu+yv)=f(M)+g'(x,y)U+h'(y)V, où g' est une fonction de R^2 dans R et
> h' une fonction de R dans R.
>
> Comme F est surjective, (U,V) est une base du plan, donc pour tous (x,y) :
> g(x)=g'(x,y) et h(x,y)=h'(y).
> On peut écrire en renommant les fonctions : F(M+xu+yv)=F(M)+g(x)U+h(y)V (g
> et h sont des bijections de R dans R)
> Pour simplifier j'écris F(x,y)=(g(x),h(y))
>
> Il ne reste plus qu'à montrer que g et h sont linéaires.
>
> Soit M0=(x0,y0) et M1=(x1,y1) et r un réel. Posons M2=r.M0+(1-r).M1
> On a F(M2)=[g(r.x0+(1-r).x1),h(r.y0+(1-r).y1)].
> D'autre part, M2 est sur la droite (M0M1), donc il existe i(r) un réel tel
> que F(M2)=i(r)F(M0)+(1-i(r))F(M1), donc en identifiant les composantes :
> Pour tous (x0,x1,r) : g(r.x0+(1-r).x1)=i(r).g(x0)+(1-i(r)).g(x1), idem
avec
> h
>
> On arrive rapidement à i(r.x0+(1-r).x1)=i(r).i(x0)+(1-i(r)).i(x1)
>
> Là je suis bloqué : je me demande s'il ne manque pas une hypothèse de
> continuité sur F
> On veut arriver à : pour tout r, i(r)=r
>
>

Ta dernière égalité montre que i est un automorphisme du corps R. Et on sait
que le seul automorphisme de R est l'identité: i(r)=r (sans besoin
d'hypothèse de continuité).
Le problème est donc résolu.

Merci !

[Anonyme]

"Marc Pichereau" wrote in
message news:403a4237.8859749@news.wanadoo.fr...
> On Mon, 23 Feb 2004 10:13:03 GMT, "FGeoffrey"
> wrote:
>[color=green]
> >Mon énoncé n'était pas assez précis; je le reformule donc:
> >Soit P un plan affine euclidien P (donc sur le corps R) et une bijection[/color]
F[color=green]
> >de P dans P tel que :
> > Pour toute droite D du plan, F(P) est une doite.
> >Montrer que F est affine.
>
> 1) montrer que 2 droites // ont des images //
> 2) montrer qu'il existe une application l
> telle que pour tout vecteur u , tout point M
> l(u) = le vecteur f(M)f(t_u(M))
> 3) montrer que l(u+v)=l(u)+l(v)
> 4) montrer que pour tout vecteur u il existe une appli g_u de R dans R
>
> telle que qq soit x réel l(xu)=g_u(x)l(u)
> 5) montrer que g_u est en fait indépendante de u
> (commencer par montrer que si u et v sont indépendants
> g_u=g_v)
> 6) soit donc g l'appli telle que pour tout vecteur u, tout réel x
> l(ux)=g(x)l(u):
> montrer que g(x+y)=g(x)+g(y)
> g(xy)=g(x)g(y)
> g(1)=1
> 7) montrer que g est l'identité
> preuve directe (sans évoquer les homomorphismes)
> montrer que g est l'identité sur N,Z,Q
> montrer que g est croissante (tout réel >=0 admet une racine carrée)
> 8) conclure
> *****************
>
> Pichereau Alain
>
> adresse mail antispam : ôter antispam, les 3 lettres devant wana et bien[/color]
sûr le .invalid
>
> http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
> ( olympiades mathématiques 1ère S )
>
> *****************

Démarche élégante !
Il est intéressant de constater que toutes les méthodes conduisent à
l'unique automorphisme de R.

Merci.

[Anonyme]

> Il est intéressant de constater que toutes les méthodes conduisent à
> l'unique automorphisme de R.

Ce qui veut dire que le résultat reste vrai si le corps de base est Q ou
Z/pZ, mais pas C ?

[Anonyme]

On Tue, 24 Feb 2004 13:28:11 +0100, "FDH" wrote:
[color=green]
>> Il est intéressant de constater que toutes les méthodes conduisent à
>> l'unique automorphisme de R.
>
>Ce qui veut dire que le résultat reste vrai si le corps de base est Q ou
>Z/pZ, mais pas C ?
>
>[/color]
oui dans C ce n'est plus vrai forcément ; d'ailleurs le Frenkel parle
d'application semi-affine
et d'application semi-linéaire
une appli semi-linéaire
de l'ev V sur K vers l'ev V' sur K'
c'est l
telle que l(u+v)=l(u)+l(v)
et l(ku)=g(k)l(u)
avec g isomorphisme de K dans K'
(u,v dans V et k dans K)
g n'étant pas forcément l'identité

exemple si K=K'=C et V=V'=C^2
l((z1,z2))=(conjz1,conjgz2)
g(k)=conjk
g(k)=conjugué de k
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Pichereau Alain

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