Transformation vers un repère lié à une trajectoire

[Chewbaka]

Bonjour à tous,

J'essaie de trouver une représentation afin de simplifier les calculs qui portent sur des points relativement à une trajectoire discrète dans le plan. (pour faire un algorithme de planification gourmand en temps de calcul)

Si je reste dans le plan (xy), je dois faire beaucoup de calcul de projection et de distance ce qui n'est pas efficace à cause des calculs de normes (racines carrées).
Plus que ça, j'aimerais aussi pouvoir tester une deuxième trajectoire par rapport à celle choisit de référence. Si on suppose une vitesse constante, y a t-il une relation entre la courbure de la seconde et la première vis-à-vis de leurs abscisses curvilignes et de leurs positions?

Je pensais passer par une "sorte de repère de Frenet" pour représenter mes points :
passage de (xy) à ( s : abscisse curviligne , e: écart à la trajectoire).
Dans ce repère je n'ai plus de projection à faire, je peux placer un point et il sera directement décrit par rapport à la trajectoire. (l'écart est directement l'ordonnée du point).
Mais cette transformation ne conserve pas les angles et ne semble pas appropriée pour l'étude des courbures.

Est-ce que ce que j'essaie de faire semble aberrant ? Connaissez-vous une méthode ou une piste de réflexion pour que je puisse creuser le sujet ? Pourrais-je représenter cette transformation avec une sorte de matrice de passage qui dépend de la trajectoire ?

Objectif :
Passage de xy à une certaine représentation >> (faire des calculs ici) >> Passage de la représentation à xy

Merci à tous pour votre temps !

[L.A.]

Je pensais passer par une "sorte de repère de Frenet" pour représenter mes points :
passage de (xy) à ( s : abscisse curviligne , e: écart à la trajectoire).

Bonjour,

je ne suis pas certain d'avoir compris ce que tu veux faire exactement, mais ce passage là me semble obscur.
Qu'est-ce que tu entends par écart à la trajectoire ? l'écart d'un point à une droite c'est la distance par rapport au projeté orthogonal, mais par rapport à une courbe ça risque d'être ambigu, un même point ayant plusieurs coordonnées (s,e).

On aura donc une application F : (s,e) -> (x,y) qui n'est pas un difféomorphisme (non injectif), mais on peut tenter en se restreignant à des parties du plan (s,e).

Si M(s)=(x(s),y(s)) est un paramétrage de la courbe par rapport à son abscisse curviligne s, alors T(s)=(x'(s),y'(s)) et N(s)=(-y'(s),x'(s)) donc F(s,e)=M(s)+eN(s)=(x(s)-ey'(s),y(s)+ex'(s)).
En théorie il faut commencer par regarder en quels points (s,e) la différentielle dF est inversible, puis résoudre l'équation (x,y)=F(s,e) pour exprimer F^(-1) : (x,y) -> (s,e).

Edit : le Jacobien de F vaut 1 - e gamma(s), donc on peut appliquer le thm d'inversion locale dans les domaines ouverts du plan (s,e) délimités par la courbe de la fonction s -> 1/gamma(s). Maintenant, ça me semble difficile d'inverser F en toute généralité sans connaître explicitement le paramétrage de la trajectoire.

[Chewbaka]

Bonjour L.A.

Merci pour ta réponse, ça me permet déjà de mieux comprendre et de poser de vrai base mathématique sur ce que j'essaie de résoudre. Ce que je dois manquer indubitablement.

En effet, il y a plusieurs solutions possibles concernant le calcul de l'écart sans restriction, il s'agit pour mon problème du coup de l'écart minimum à la trajectoire.

Pour expliquer un peu plus ce que j'essaie de faire :
Par exemple si une suite de points représentait une trajectoire, est ce que je pourrais conserver certaines informations comme la courbure après transformation.
Ultimement, j'essaie de voir s'il serait possible d' "additionner" deux trajectoires via leurs courbures (dans le cas où la vitesse est constante). Si c'est possible, je pourrais par exemple créer une trajectoire finale, "fusion" d'une trajectoire de référence avec une trajectoire de manœuvre qui s'écarterait de la trajectoire par exemple. Ce qui pourrait être intéressant c'est que je pourrait calculer cette trajectoire de manœuvre plus facilement dans l'espace relatif à la trajectoire de référence pour ensuite repasser la trajectoire dans (x,y). Il faut cependant que je m'assure que certaines informations, par exemple comme l'accélération maximale, soient bornées dans (x,y).

Sur la transformation (x,y) -> (s,e), j'arrive a faire passer les points d'un repère à l'autre. Par contre je n'arrive pas à bien cerner, ou a savoir si je pourrais garder des informations sur la relation entre différents points.
Et malheureusement, si je dois à chaque fois faire un calcul local du Jacobien de l'application pour approximer mon résultat, cette transformation n'a finalement pas trop d'intérêt.

En cherchant un peu je suis tombé sur l'homotopie, je ne suis pas familier avec la topologie, mais si ça peut être une piste intéressante je la creuserais. J'aimerais juste savoir si elle l'est avant de me lancer plus en profondeur.

[GaBuZoMeu]

Je n'ai pas de solution miracle à ton problème, mais en tout cas l'homotopie ne te donnera rien. Tu cherches des renseignements métriques (par exemple courbure), et l'homotopie est purement topologique.

[Chewbaka]

Bonjour GaBuZoMeu, merci pour ta réponse, je cherche peut-être bien une chimère.

[Chewbaka]

@ L.A.
En creusant un peu ta réponse, finalement est ce que je ne rechercherait pas une transformation conforme ?
Comme elle conserve localement les angles et que je suppose ma vitesse constante, la courbure devrait aussi être conservée ? Il faut alors que je trouve l'expression d'une fonction holomorphe qui transformerait ma trajectoire (x,y) vers une forme simplifiée et exploitable.