Transformation du plan

[MacManus]

Bonsoir,

Je voudrais déterminer les centres et les rapports des 2 homothéties qui échangent les 2 cercles d'équations :

et

a pour centre O1(3,2) et pour rayon R1=3
a pour centre O2(-1,-2) et pour rayon R2=2

(J'ai calculé l'équation de l'axe radical orthogonal à l'axe des centres).

Si j'ai bien compris on cherche 2 homothéties réciproques l'une de l'autre.
Par exemple : l'image du cercle C1(O1,R1) par l'homothétie h de rapport k est le cercle C2(O2,R2), où : O2=h(O1) et R2=|k|R1

Comment trouver le centre d'une telle homothétie ??
Le rapport est-il alors ??
Comment retrouver l'homothétie "réciproque" ?


Merci d'avance pour votre aide !

[le_fabien]

Oui le rapport est bien +-R2/R1=+-2/3
Pour trouver la position des centres de deux homothéties il faut utiliser la relation vectorielle:
soit H1 le centre de l'homo de rapport 2/3 alors vect(H1O2)=(2/3)vect(H101)
soit H2 le centre de l'homo de rapport -2/3 alors vect(H202)=(-2/3)vect(H201)
Puis avec un peu de Chasles tu trouves la position des deux centres

[Quidam]

Si j'ai bien compris on cherche 2 homothéties réciproques l'une de l'autre.
Comment retrouver l'homothétie "réciproque" ?

Peut-être ! Si tu as bien compris !

Mais tu as mal compris !

Les deux homothéties que tu cherches ne sont pas réciproques l'une de l'autre ! Si c'était le cas et si l'image du cercle 1 par l'homothétie 1 était le cercle 2, alors l'image du cercle 2 par l'homothétie 2 (réciproque de 1) serait le cercle 1. Et ce n'est pas le cas !

Tu cherches deux homothéties distinctes, non réciproques l'une de l'autre, qui toutes deux transforment le cercle 1 en le cercle 2.

Cela dit, ce que dit LEFAB11 est correct ! A toi de trouver les centres !

[MacManus]

Bonjour et merci beaucoup pour votre aide!

Quidam m'a effectivement remis sur la bonne voie : il y a bien 2 homothéties différentes et non réciproque l'une de l'autre. LEFAB11 m'a quasiment donné la réponse.

pour l'homothétie h1 : centre H1(-9,-10) et rapport 2/3
pour l'homothétie h2 : centre H2(3/5,-2/5) et rapport -2/3

on remarque que les centres des homothéties sont alignés avec O1 et O2
Donc tout laisse penser que c'est correct!

Merci à vous deux!