Transformation affine du plan complexe

[MacManus]

Bonjour,

Est-il possible d'avoir de l'aide pour l'exercice suivant ?

Soit g l'application affine définie comme telle : complexes.

comment peut-on montrer (rapidement) que g est injective ssi

1. La partie linéaire de g est bien ou ??

2. Exprimer la symétrie orthogonale par rapport à la droite D : y = x+1 sous la forme d'une application g.

Une symétrie orthogonale est une isométrie indirecte de la forme avec |a|=1 (est-ce correct ?) Comment exprimer cette symétrie orthogonale à l'aide de l'équation de la droite D ??

3.l'application est-elle une isométrie ??

Je penche pour la réponse suivante : OUI car |a|= 1 et elle est de la forme

4. Comment montrer que le birapport de 4 nombres complexes est invariant par transformation affine (sous la forme g en l'occurence) ??

Je pense qu'il s'agit de montrer que , mais faut-il vraiment tout calculer avec l'expression générale de g définie au début ???

Merci beaucoup pour votre aide car je ne sais pas toujours comment m'y prendre!

[mathelot]

bjr,


d'où un système de Cramer d'inconnues z et si
f est donc inversible donc injective.

[mathelot]

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[MacManus]

D'accord merci Mathelot je comprends ta démarche.

[MacManus]

Merci pour tes réponses Mathelot.
Je comprends ton message de 14h19 , je suis d'accord.

La partie linéaire de g est-elle la suivante ?


Je reste cependant un peu dans le flou concernant le reste...

[MacManus]

ton dernier message est assez pittoresque :euh:

[mathelot]

euh,; je trouve en identifant les parties réelles et imaginaires:

[MacManus]

Je suis désolé mais je n'arrive pas à retrouver cette matrice... est-ce que tu peux me donner un indice? merci...

[mathelot]

De toute façons, l'application linéaire associée ne sera pas -linéaire

pour la -linéarité




2)

Une droite (D) a pour pente et pour ordonnée à
l'origine

Pour faire la symétrie orthogonale affine s par rapport à (D)
on fait successivement:

t = translation
: rotation de
à ce stade, (D) est devnue l'axe x'ox
symétrie vectorielle d'axe x'ox
on recompose dans l'autre sens:
d'où:



ça répond à la question (2) car ça décompose g en la conjuguée
de la symétrie (passer en complexes)


3) oui, comme composée de deux isométries (rotation affine et translation)

[MacManus]

je vais essayer de regarder ça d'un peu plus près merci !

[mathelot]

pour écrire la forme cartésienne de la symétrie par rapport à (D)
on écrit:


milieu de appartient à D
orthogonal à

[MacManus]

Ok mathelot merci c'est effectivement une bonne méthode

[yos]

Exprimer la symétrie orthogonale par rapport à la droite D : y = x+1 sous la forme d'une application g.

Une symétrie orthogonale est une isométrie indirecte de la forme avec |a|=1 (est-ce correct ?) Comment exprimer cette symétrie orthogonale à l'aide de l'équation de la droite D

Trouve a et c en écrivant que (0,1) et (1,2) sont invariants.

l'application est-elle une isométrie
Je penche pour la réponse suivante : OUI car |a|= 1 et elle est de la forme

Oui

[MacManus]

Trouve a et c en écrivant que (0,1) et (1,2) sont invariants.

(0,1) et (1,2) sont en fait les nombres complexes : i et 1+2i c'est bien ça?
donc je dois vérifier que g(i)=i et g(1+2i)=1+2i , mais il s'agit bien de le vérifier pour l'expression complexe de la symétrie orthogonale ??

Je trouve dans ce cas a=1 et c=0 ... est-ce que c'est bon?
ce qui me donnerait : ....ou
ce qui semble logique a priori pour une symétrie!

merci de bien vouloir me corriger!

[yos]

Je trouve .

[mathelot]

ce qui me donnerait : ....ou
ce qui semble logique a priori pour une symétrie!

merci de bien vouloir me corriger!

non,non, ce n'est pas logique. g est alors la symétrie par rapport à l'axe x'ox.

[MacManus]

Bonjour,

Oui tu as raison mathelot on aurait une symétrie par rapport à l'axe des abscisses... :hum: je ne m'en étais même pas rendu compte.
Je viens de retrouver ce résultat
Merci Yos et mathelot pour votre aide!