Trace

[Sylar]

Bonjour,je bloque sur cet exercice:
Caractériser l'ensemble des matrices A de Mn(C) telles que pour tout i de [1..n] :

Tr(A^i)=n

Merci...

[fahr451]

bonjour

considérer

les valeurs propres de A distinctes (en supposant qu 'il en existe une distincte de 1)

1 , a1,...,ap de multiplicité n0,...,np éventuellement n0 = 0
n1,...,np entiers strictement positifs
on trigonalise A

on écrit les relations pour i = 1 ,...,p

on obtient un système en n0,...,np
on écrit le même système lorsque 1,a1,...,ap valent tous 1 on soustrait membre à membre

reste un système linéaire en n1,...,np de second membre nul

on regarde le déterminant de ce système f(a1,...,ap)

qui dépend de a1,...,ap

on le considère comme une fonction de x= ap : P(x)
c'est un polynôme en x de degré au plus p qui adme clairement a1,...,ap-1 comme racine (colonnes égales) et qui admet également x= 1 comme racine

le coeff de x^p est exactement f(a1,...,ap-1)

donc P(x) = (x-1)(x-a1)...(x-a(p-1)f(a1,...,a(p-1) )

donc P clairemment ne s'annule pas pour les ai distincts et différents de 1

le système est de cramer l'unique sol est n1= ...= np = 0

ce qui contredit l'exisence de vp diférente de 1

conclusion

A admet pour unique vp 1

la réciproque est vraie.

[Sylar]

on trigonalise A

on écrit les relations pour i = 1 ,...,p ???
C'est quoi comme relations?
Et y a un truc que je comprends pas ,comment sais-tu que la valeur propre est 1.
En effet la trace c'est la somme des valeurs propres mais ici j'aurai tendance a dire :
Sp(A^i)={1} et pas Sp{A}............

Et je comprend pas c'est quoi: f(a1,...,ap) ??

[fahr451]

évite les ???? s'il te plait ça me choque...

les relations sont tr(A^i) = n
ça me semblait clair

je MONTRE que 1 est la seule vp relis bien tout

f(a1,...,ap) est le déterminant du système linéaire obtenu après soustraction

la j ième colonne du déterminant est : (aj-1, aj^2 -1,...,aj^p - 1 )

[Sylar]

Désolé j'arrive pas a comprendre la raisonnement.

j'ai pas compris pourquoi:le coeff de x^p est exactement f(a1,...,ap-1)......

[fahr451]

quand on développe formellement ce déterminant par rapport à la dernière colonne

x^p est uniquement dans le coeff en bas à droite ;le mineur associé est le déterminant de la matrice p-1,p-1 en rayant la dernière ligne et la dernière colonne ce déterminant est exactement le même
déterminant qu'au départ mais de taille p-1 et avec a1,...,ap-1 uniquement

[Sylar]

Ok merci je vais esayer de faire le calcul.

[Sylar]

P(x) = (x-1)(x-a1)...(x-a(p-1)f(a1,...,a(p-1) )

donc P clairemment ne s'annule pas pour les ai distincts et différents de 1

J'ai pas compris ca.Pour moi il s'annule pour:x=1,x=a1,.....x=a(p-1)..........

[Sylar]

Et pourquoi x = ap ?

[Sylar]

Décidemment j'y comprend rien a cette démonstration.... :triste:

[kazeriahm]

si tu ne coprends pas sylar écris tous à la main en développant les étapes sur lesquels fahr va vite

[Sylar]

Ok je vais essayer;mais c'est l'histoire du polynome P qui me bloque.

[Sylar]

Merci pour la réponse mais je comprends pas d'ou vient ce système:

On a:
1 , a1,...,ap de multiplicité n0,...,np éventuellement n0 = 0
n1,...,np entiers strictement positifs
on trigonalise A
Tr( A^i)=n <=> 1+a1^i+..................+ap^i=n
Je vois pas de système .......

[fahr451]

l'idée est de prendre les valeurs propres DISTINCTES de multiplicité n0 ,...,np


on a donc

n0 + n1 a1^i +...+np ap^i = n pour i = 1,...,p


on a aussi n0+...+np = n

on soustrait on obtient

n1(a1^i -1) +...+ np(ap^i -1) = 0 i = 1,...,p

[Sylar]

Ok merci fahr451 ,j'ai presque tout compris a présent.
Un dernier résultat;pourquoi a-t-on:n0+...+np = n ?
ou n0,..............,np sont les multiplicités

merci...

[fahr451]

ce sont les multiplicités (algébriques) comme racines du polynôme caractéristique ;ce polynôme est de degré n, la somme des multiplicités vaut donc n

rem : a priori n0 peut être nul si 1 n'est pas racine


si tu préféres après trigonalisation n0 est le nbre de fois où 1 apparait sur la diagonale n1 le nbre de fois pour a1 etc

au total il y a n termes sur la diagonale

[Sylar]

Ah oui bigre!Merci beaucoup fahr.

[Sylar]

Vu que j'avais pas tout compris je fais un débrousaillage:

Donc ,on a le système:n1(a1^i -1) +...+ np(ap^i -1) = 0 i = 1,...,p
a p équations.
Ensuite ,que fait-on exactement?
merci....

[fahr451]

on montre que le déterminant est non nul

c'est un polynôme en x = ap de degré au plus p etcetc(j'ai déjà tout fait)

[Sylar]

Je comprends pas la méthode pour calculer le déterminant de la matrice M ou :ap=x et :
M=
a1-1 ....................x-1

.
.
.
a1^p-1.................x^p-1
L'histoire du polynome P(x) me déroute........
merci.