Trace

[Tuvasbien]

Bonjour, est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer la raison profonde (si elle existe) de pourquoi la trace est un invariant de similitude. Par exemple le déterminant d'une matrice est un invariant de similitude et cette propriété a une interprétation géométrique en rapport avec l'endomorphisme de qui lui est canoniquement associé en considérant les "volumes déformés" par l'endomorphisme.

[GaBuZoMeu]

Le déterminant de est clairement un invariant de similitude, et la trace est l'opposé d'un de ses coefficients. Bon, ce n'est sans doute pas très éclairant.

[Tuvasbien]

J'y avais pensé mais je ne pense pas que ça soit assez profond... une piste est que l'algèbre de Lie du groupe spécial linéaire est l'ensemble des matrices de trace nulle, or on connaît une interprétation géométrique du groupe spécial linéaire mais comment la lier à ?

[GaBuZoMeu]

Tu as le fait que le déterminant de est l'exponentielle de fois la trace de , mais je suppose que tu sais ça et que ça ne te satisfait pas non plus ...

[Tuvasbien]

C'est malheureusement le cas...

[Skullkid]

Bonsoir,

Je m'étais posé la même question mais globalement en cherchant j'ai rien trouvé de plus satisfaisant que "c'est la différentielle du déterminant en l'identité". On peut habiller ça en parlant de petites déformations du volume engendré par une base orthonormée qu'on laisse évoluer suivant y' = A*y (ce qui revient à faire un DL de l'égalité mentionée par GaBuZoMeu) mais bon...

Tiens-nous au courant si tu trouves quelque chose de plus satisfaisant à ton goût !

[Tuvasbien]

Effectivement . Soit le système différentiel et des solutions de ce système, on peut considérer leur Wronskien qui prend la forme . Le Wronskien est le volume délimité par les solutions du système différentiel. Autrement dit la trace est un paramètre du système qui traduit la compression ou la dilatation (selon le signe de ) du volume délimité par les solutions du système. De ce point de vue des matrices semblables ont le même effet sur le système différentiel, les Wronskiens diffèrent alors à une constante multiplicative près.

[GaBuZoMeu]

J'en reviens aux coefficients du polynôme caractéristique. C'est ça qui me semble une raison profonde. J'explique pourquoi : ces coefficients sont les générateurs de l'algèbre des polynômes sur constants sur les classes de similitude, sauf erreur.
Autre façon de voir les choses : la trace est la seule (à un facteur près) forme linéaire nulle sur l'ensemble des matrices nilpotentes.

[Tuvasbien]

Concernant les coefficients du polynôme caractéristique, ils sont entièrement caractérisés par la trace des puissances de , si , alors



Aussi, est la seule semi-norme invariante par similitude à une constante multiplicative près. Enfin le fait que les coefficients du polynôme caractéristique soient les générateurs de l'algèbre des polynômes de constants sur les classes similitude, peux-tu détailler ?

[GaBuZoMeu]

Ta formule (classiques relations de Newton entre somme de puissances et polynômes symétriques élémentaires) ne marche bien qu'en caractéristique nulle.
Pour les polynômes constants sur les classes de similitude, je te laisse y réfléchir (penser aux adhérences de classes de similitude, etc.).