Toujours les polynômes cyclotomiques ^^

[egan]

Salut,
J'ai trouvé ce lien que j'ai trouvé pas trop mal.
http://boumbo.toonywood.org/sandrine/pageperso/agreg/cyclotomiques.pdf :mur:
J'essaye de comprendre la démonstration du théorème 2. Je bloque à deux endroit.
1- Je ne comprends pas comment on fait apparaître S.
2-Je ne comprends pas non plus pourquoi ne peut pas avoir de facteur carré non constant.
Voilà voilà.
Merci d'avance.
@+ Boris.

[egan]

C'est bon pour le point 2 en fait. ^^ mais le point 1 reste un mystère.

[Doraki]

P divise Q^p dans Fp.

Si R est un facteur irréductible de P, ça veut dire que R divise Q^p,
et comme R est irréductible, R divise Q.
Donc il existe un R qui divise à la fois P et Q dans Fp

[Ben314]

1- Vu que (non constant) divise , c'est que tout facteur premier non constant de apparait dans .

2- est sans facteurs carrés car il est premier avec sa dérivée. (Si est un facteur qui apparait au carré dans alors il divise ET )

[egan]

Je pense que ma question est ridicule mais pourquoi peut-on affirmer que R divise Q^p ?

[egan]

Je retire ma question, elle est stupide. C'est Gauss.

[egan]

J'ai un doute sur la fin, je ne suis pas sûr d'avoir compris le coup du divise P.
Dans la démo, le but c'est de montrer que les racines de sont les racines de P non ?
Si c'est bien ça qu'il faut montrer, comme pour est racine de et de P, tout est basé la dessus:
Si est une racine primitive n-ième de l'unité.
L'ensemble des racines primitives n-ièmes de l'unité est l'ensemble des pour .

Est-ce que je me plante royalement, ou est-ce qu'il y a un souspçon de vérité dans ce que je raconte ?

[egan]

Je sais pas si j'ai été très clair dans ce que j'ai dit. :hum:
Quelqu'un m'a compris ?

[Ben314]

C'est bien ça :
Tu prend une des racine de P, comme P divise , est aussi racine de , ce qui signifie que c'est une racine primitive n-ième de l'unité.
Les racines de sont donc les pour et grâce au début de la preuve, on sait que les sont aussi racines de P.
Toute racine de est racine de P : cela prouve que divise P.

[egan]

Donc il faut montrer ça:
Si , alors:

Une inclusion est évidente mais l'autre me paraît moins facile.
J'ai essayé de voir ce que je pouvais faire avec les ordres mais je vois pas comment faire apparaître un k qui convient. Du coup j'ai essayé avec l'arithmétique mais ça passe pas non plus.
Le seul truc naturel que j'ai trouvé c'est de faire la division euclidienne de p par l donc on a: p=kl+r. Mais là le r m'embête: il faudrait que n divise r pour qu'il disparraisse de l'exponentielle complexe mais ça n'a pas l'air d'être toujours le cas.
En tout cas, si n divise r, ça marche.

[Ben314]

Un petit "rappel" :
Dans un groupe quelconque , si est un élément d'ordre , et que l'on cherche l'ordre de () , on écrit que car et sont premier entre eux (lemme de Gauss)
Cela signifie que est d'ordre et donc, qu'en particulier, si , est lui aussi d'ordre .

Conséquence : si est une racine primitive n-ième de l'unité dans (i.e. un élément d'ordre ) et que , alors est lui aussi une racine primitive n-ième de l'unité.

[egan]

Ah ok. Merci beaucoup pour toutes vos réponses et surtout à toi Ben314.
On n'a pas beaucoup travaillé avec les ordres cette année, j'ai encore un peu de mal. Mais on avait fait ce que tu viens de me montrer, je m'en souviens. :marteau: ^^

[egan]

Mais dans ce que tu dis, tu ne prouves qu'une inclusion. Ca ne prouve pas que toute racine n-ième primitive de l'unité peut se mettre sous la forme où k premier avec n.
Dans la preuve on a besoin d'avoir:
L'ensemble des avec k premier avec n est l'ensemble des racines n-ièmes primitives de l'unité.

[Ben314]

Sauf que, si est une racine primitive n-ième alors, (quasi par définition) sont tous distincts.
En particulier, les avec et sont distincts et on vient de voir que ce sont eux aussi des racines primitives n-ièmes.
Enfin, combien y-a-t-il de racines primitives n-ièmes différentes ?
Conclusion.

[egan]

Je me complique un peu trop la vie je crois avec mes idées tordues.
Par contre, je ne vois pas le lien avec la définition.