Toujours et encore (Z/nZ)*

[RadarX]

Re-bonjour,

Est-ce que quelqu'un peut me prosposer une solution de ce probleme.

Soient p premier >2 et a>1. En considerant le morphisme canonique g: (Z/(p^a)Z)* ----> (Z/pZ)* ( c'est a dire m + (p^a)Z ---> m + pZ), montrer que Ker g = <1+p>

Je sais que ordre (Z/(p^a)Z)*= [p^(a-1)](p-1) et que l'ordre de (1+p) dans (Z/(p^a)Z)* est p^(a-1).

Merci des contributions!

RadarX.

[RadarX]

Je crois obtenir une preuve;

N'oublions pas que || = p^(a-1) dans Z/p^aZ)*.
Il est facile de voir que 1+p € ker g et donc inclus dans ker g.
Maintenant remarquons que notre morphisme (Z/p^aZ)* ----> (Z/pZ)* est surjective et induit (par le thm de factorisation) un isomorphisme (Z/p^aZ)*/ker g ----> (Z/pZ)*.
Donc |(Z/p^aZ)*/ker g| = |(Z/pZ)*| = p-1 (phi(p) ou phi est l'indicatrice d'Euler).
Thm de lagrange:
p^(a-1) (p-1) = |(Z/p^aZ)*| = |kerg||(Z/p^aZ)*/ker g|= |kerg|. (p-1) ==> |kerg|= p^(a-1) dont on sait que c'est l'ordre de 1+p dans (Z/p^aZ)*.
On conclut alors que = kerg vu qu'ils ont meme cardinal et que l'un est contenu dans l'autre. QED

En pensez quoi?