Toujours aussi complexes...

[Moi]

Bonsoir,

J'ai déjà avancé dans mon DM du coup je vous explique un peu ce qui se passe : on a u^3 et v^3 qui sont deux solutions de l'équation x^2+qx-(p^3/27)=0 (1)
Ensuite, on considère cette équation (1) et selon le signe de delta on peut dire que les solutions x1 et x2 sont soit réelles soit complexes conjuguées...

La question est la suivante (voir photo). (

image.jpeg (25.36 Kio) Vu 216 fois

On suppose delta positif ici)

[XENSECP]

Salut,
Sans tout le contexte c'est plus compliqué !

[Moi]

Salut,

C'est vrai désolé j'ai essayé de l'expliquer un peu parceque c'est galère de joindre des photos sur le forum (taille de l'image limitée). Du coup, je vais tout écrire.

Alors:

On considère dans C l'équation suivante d'inconnue x :
z^3+az^2+bz+c=0 notée (1) avec a,b,c appartenant à R^3

1) déterminer un réel W tel que si z est solution de (1), alors le complexe y=z+W satisfait une équation de la forme : y^3+py+q=0 notée (2) Donner les expressions de W,p,q en fonction de a,b,c. (Je pense que j'ai trouvé)

Soit y une solution de (2) dans C. On pose le système:

u+v=y Système noté (3)
uv=-p/3

2) Rappeler pourquoi ce système a un unique couple solution (à l'ordre près). Montrer ensuite que les solutions u et v de (3) sont telles que : u^3+v^3=-q et u^3*v^3=-p^3/27. Que peut-on en déduire sur u^3 et v^3 (J'ai tout trouvé sauf la preuve de l'unicité du couple solution)

On considère maintenant l'équation d'inconnue x suivante : x^2+qx-(p^3/27)=0
On note delta son discriminant et x1,x2 ses deux racines.

3) Exprimer delta en fonction de p et q. Que peut-on dire de x1 et x2 en fonction du signe de delta? (J'ai réussi)

On suppose dans un premier temps delta>0 :

5) Justifier ... (Photo) et là je n'y arrive pas.

Voilà j'espère que ça vous aidera.
Merci pour votre aide, bonne soirée !

[Pisigma]

Bonsoir,

calcule et en partant de (1); ensuite et . Cà ne devrait pas poser de problème

[Moi]

Bonsoir,

calcule et en partant de (1); ensuite et . Cà ne devrait pas poser de problème

Yo, merci à toi )

[Moi]

je suis toujours en pls en fait lol. Je vois pas vraiment je dois faire quoi avec x1 et x2 sur l'équation (1)...
Help please !
Merci.

[Pisigma]

Vois un peu ici https://fr.wikiversity.org/wiki/%C3%89quation_du_troisi%C3%A8me_degr%C3%A9/M%C3%A9thode_de_Cardan