Topos faible et fortes

[gibran]

Bonjour,

Encore une question bête probablement ...

Je n'arrive pas à comprendre en quoi la topologie faible est comprise dans la topologie forte ... (c'est fou que c'est énervant de ne pas réussir à démontrer des choses considérées comme trivial par nos profs ... ;))

Merci d'avance !

[Nightmare]

Salut :happy3:

Oui c'est assez évident, mais il suffit juste de comprendre ce que sont ces deux topologies ! La topologie faible est la plus fine, on se contente d'un minimum d'ouvert pour garder des formes linéaires continues.

La topologie forte est beaucoup plus grosse, elle est engendrée par toutes les boules ouvertes. Elle contient alors évidemment tous les ouverts de la topologie faible.

Bref, tout ce qui marche fortement marche faiblement du coup. Par exemple, convergence forte => convergence faible.

En fait, en dimension finie, c'est carrément la même chose, c'est un beau résultat.

:happy3:

[mathelot]

La topologie forte ..contient tous les ouverts de la topologie faible.

ce n'est pas l'inverse ?

[gibran]

C'est exactement le point sur lequel je bloque ...

Pour moi, la topologie faible contient plus d'ouverts que la topologie forte. Car, la topologie faible contient les ouverts engendrés par toutes les formes linéaires rendues continues (au sens où leurs images réciproques est un ouvert).

Or, ces formes linéaires peuvent être non continues pour la topologie forte (puisque dans un espace de dim infinie, les formes linéaires ne sont pas nécessairement continues). Donc, a priori, les ouverts engendrés par les formes linéaires continues au sens de la topologie forte, sont moins nombreux ...

Finalement, je suis en train de dire qu'il y a plus d'ouverts dans la topologie faible que dans la topo forte , et qu'on a du coup la topologie forte est contenue dans la topologie faible(avec un raisonnement grossier, puisque je ne sais pas si il y a autant d'ouverts que d'images réciproques d'ouverts pour la topologie forte)

Où est l'erreur ?

[gibran]

Bon, en fait, j'ai ma réponse ... :marteau:

Je la donne pour la postérité, si un jour, quelqu'un se pose les mêmes questions saugrenues que je suis en train de me poser ... :-)

Il fallait partir de la base de voisinage d'un point x° de la topo faible:
(x, f(x-x°)
Pour chaque point x appartenant à la base de voisinage, je peux trouver une boule contenue dans la base de voisinage en question. En prenant par exemple, celle de centre x et de rayon (e/(Normeunif(f) -Norme(x-x°)) ...

Donc, tous les ouverts de la topo faible sont des ouverts pour la topo forte, qui est la topologie la plus fine ..

[Joker62]

Haileau :)

La topologie faible, c'est la topologie la MOINS FINE, pour laquelle les formes linéaires continues RESTENT continues.

En gros on a une topologie de départ. Mais elle est bien trop grosse et y'a dedans trop d'éléments qui ne nous sert pas. On prend alors le strict minimum pour que les formes linéaires continues restent continues.

En ce sens, elle est moins fine que la grosse :^) ( Suspect comme phrase hors de son contexte :) )

[gibran]

Ok ...

Mais alors, là, du coup, la définition de mon prof aurait été pour le moins ambigüe:

" la topologie faible est la topologie la moins fine rendant continue toutes les formes linéaires " ... dixit M. *****, éminent professeur chercheur

Si je peux plus faire confiance à mon cours ...

Merci beaucoup !

[Joker62]

T'es sûr qu'il a pas dit qui rendent continues tout les éléments de son dual topologique ?

[gibran]

En fait, pas dans la définition que j'étais en train de citer, mais E' avait été introduit comme étant le dual topologique (ne connaissant pas la notion, j'ai assimilé ça à un dual ... :triste: ...)

Merci de ton aide ! (l'honneur de M. **** est sauf ...)

[Joker62]

Lol oui un enchaînement de définition ça rend perplexe desfois :p
Bon, donc nous sommes tous d'accord :)

Juste comme ça, pour avoir une idée, la topologie faible correspond à la topologie de convergence simple.
On peut se ramener aux connaissance d'analyse de base pour avoir les implications évidentes citées par Nightmare plus haut ;)