thomasg a écrit:soit z tq |z|=1 alors il existe t dans 0; 2pi tq z=eit
il existe donc xdans 0;1 tq t=2*pi*x
donc z=f(x)
c'était la démo de la surjectivité.
Topologie
39 messages
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par thomasg » 17 Oct 2007, 21:42
c'était la démo de la surjectivité.
par thomasg » 17 Oct 2007, 21:46
Chimomo a écrit:Tu te demandes si la réciproque d'une bijection continue est toujours continue ?
La réponse est bien sur non, sinon la notion d'homéomorphisme serait de bien peut d'intérêt. Plus sérieusement, dans n'importe quel espace métrique muni de deux topologies comparables non équivalentes, l'identité est une bijection qui n'est continue que dans un sens.
Une bijection est un homéomorphisme si et seulement si elle induit une bijection entre les ouverts des espaces topologiques.
Je te remercie d'avoir répondu à une question aussi stupide de ma part,
dans le brouillard de mes souvenir j'énonçais mal la propriété qui dit qu'une bijection continue ouverte est un homéomorphisme.
A bientôt.
par minidiane » 18 Oct 2007, 16:15
A ok merci thomasg
Sinon comment je dois montrer la continuité de f et de f^-1?
Sinon comment je dois montrer la continuité de f et de f^-1?
par thomasg » 18 Oct 2007, 18:52
A préciser peu-être si quelqu'un juge que c'est nécessaire (ou faux),
il me semble que f est continue de R dans C donc elle est continue dans nos deux espaces pour les topologies induites.
La fonction ln étant à ma,ipuler avec précaution comme on te l'a déjà dit dans ce message, au lieu de montrer que la réciproque de f est continue il vaut mieux prouver que f est une application ouverte (ce qui est équivalent).
Je te laisse un peu chercher comment prouver que f est ouverte (je n'ai pas le temps d'y réfléchir et de l'écrire maintenant)
A bientôt.
il me semble que f est continue de R dans C donc elle est continue dans nos deux espaces pour les topologies induites.
La fonction ln étant à ma,ipuler avec précaution comme on te l'a déjà dit dans ce message, au lieu de montrer que la réciproque de f est continue il vaut mieux prouver que f est une application ouverte (ce qui est équivalent).
Je te laisse un peu chercher comment prouver que f est ouverte (je n'ai pas le temps d'y réfléchir et de l'écrire maintenant)
A bientôt.
par minidiane » 18 Oct 2007, 22:40
A ok merci je n'avais pas compris
Est-ce que je peux utiliser ce théorème:
Soit E et F deux espaces de Banach et f une application linéaire continue de E vers F.
Si f est surjective, alors f est ouverte, i.e l'image de tout ouvert de E par f est un ouvert de F.
Est-ce que je peux utiliser ce théorème:
Soit E et F deux espaces de Banach et f une application linéaire continue de E vers F.
Si f est surjective, alors f est ouverte, i.e l'image de tout ouvert de E par f est un ouvert de F.
par thomasg » 19 Oct 2007, 08:28
Tu ne peux pas, tout simplement car ici f n'est pas une application linéaire.
par minidiane » 19 Oct 2007, 13:42
A oui mince
Du coup je ne vois pas comment je peux montrer que f est une application ouverte :mur:
Du coup je ne vois pas comment je peux montrer que f est une application ouverte :mur:
par thomasg » 19 Oct 2007, 13:46
Intuitivement cela parait évident,
on peut peut-être s'en sortir en revenant à la définition des ouverts et d'une application ouverte (essaye, je prendrai un peu de temps ce soir si personne n'a donné de réponse d'ici là)
on peut peut-être s'en sortir en revenant à la définition des ouverts et d'une application ouverte (essaye, je prendrai un peu de temps ce soir si personne n'a donné de réponse d'ici là)
par agencigirl » 19 Oct 2007, 16:57
bonjour
j'aurais quelques petites questions au niveau de la première question !
. la seule topologie de cardinal 2 est {ø,M}
. une topo de card 3 est par ex. {ø, {1}, M}
. une topo de card 4 est par ex. {ø, {1}, {1,2}, M}
les parties fermées sont donc
. pour la card2 {M,ø}
.pour la card 3 { M,{2,3},ø}
.pour la card 4 {M,{2,3},{3},ø}
pour card 2 :l'interieur de {2,3} c'est l'ensemble vide et l'adherence c'est M
est-ce parcque l'on a aucune idée si c'est un ouvert ou un fermé?
pour card 3 : {2,3} est fermé puisque son complementaire est ouvert ( {1})
donc son adherence est égal a lui même. cependand {2,3} nappartient a la topologie de card 3 de M!
alors est-ce quand même lui même son adherence ou est-ce M??
et donc son interieur est egal a l'ensemble vide si j'ai bien compris!
merci de me repondre
j'aurais quelques petites questions au niveau de la première question !
. la seule topologie de cardinal 2 est {ø,M}
. une topo de card 3 est par ex. {ø, {1}, M}
. une topo de card 4 est par ex. {ø, {1}, {1,2}, M}
les parties fermées sont donc
. pour la card2 {M,ø}
.pour la card 3 { M,{2,3},ø}
.pour la card 4 {M,{2,3},{3},ø}
pour card 2 :l'interieur de {2,3} c'est l'ensemble vide et l'adherence c'est M
est-ce parcque l'on a aucune idée si c'est un ouvert ou un fermé?
pour card 3 : {2,3} est fermé puisque son complementaire est ouvert ( {1})
donc son adherence est égal a lui même. cependand {2,3} nappartient a la topologie de card 3 de M!
alors est-ce quand même lui même son adherence ou est-ce M??
et donc son interieur est egal a l'ensemble vide si j'ai bien compris!
merci de me repondre
par thomasg » 19 Oct 2007, 21:14
Bonsoir,
dans la fin de ton message je suppose qu'il faut remplacer card 1 par card 2 et card 2 par card 3. Non ?
pour card 2: on a une idée précise {2;3} n'est ni ouvert, ni fermé.
pour card3: {2;3} est fermé, non ouvert, il est donc normal que ce ne soit pas un élément de la topologie puisque par définition une topologie est l'ensemble des ouverts. Son adhérence est lui même. Son intérieur est l'ensemble vide.
A bientôt.
dans la fin de ton message je suppose qu'il faut remplacer card 1 par card 2 et card 2 par card 3. Non ?
pour card 2: on a une idée précise {2;3} n'est ni ouvert, ni fermé.
pour card3: {2;3} est fermé, non ouvert, il est donc normal que ce ne soit pas un élément de la topologie puisque par définition une topologie est l'ensemble des ouverts. Son adhérence est lui même. Son intérieur est l'ensemble vide.
A bientôt.
par minidiane » 19 Oct 2007, 22:15
Bonsoir thomasg,
je ne trouve pas la définition d'une apllication ouverte peux-tu me la donner stp?
Merci
je ne trouve pas la définition d'une apllication ouverte peux-tu me la donner stp?
Merci
par ThSQ » 19 Oct 2007, 22:51
minidiane a écrit:apllication ouverte
L'image d'un ouvert est un ouvert.
par agencigirl » 20 Oct 2007, 09:45
oui bien sûr erreur de tape!
merci beaucoup pour ces renseignements!
juste encore une petite question si par exemple on avait une topologie de card 3 {ø, {1},M} et que l'on cherche l'interieur de {1,3} ce serai si j'ai bien compris {1} n'est-ca pas puisque c'est un ouvert (le plus grand contenu dans {1,3}?
merci beaucoup pour ces renseignements!
juste encore une petite question si par exemple on avait une topologie de card 3 {ø, {1},M} et que l'on cherche l'interieur de {1,3} ce serai si j'ai bien compris {1} n'est-ca pas puisque c'est un ouvert (le plus grand contenu dans {1,3}?
par ThSQ » 20 Oct 2007, 09:53
agencigirl a écrit:topologie de card 3 {ø, {1},M} et que l'on cherche l'interieur de {1,3} ce serai si j'ai bien compris {1} n'est-ca pas puisque c'est un ouvert (le plus grand contenu dans {1,3}?
Oui c'est ça
par minidiane » 20 Oct 2007, 10:45
Je n'arrive toujours pas à montrer que l'on a un homéomorphisme :mur:
par alben » 21 Oct 2007, 10:09
Bonjour,
Le fil est un peu long et parasité.
Si j'ai bien compris, tu cherches à prouver que f: I/~ -> C f(x)=exp(2;)ix)
est continue et ouverte.
Je crois que la continuité a été montrée, reste celle dans l'autre sens.
La fonction réciproque g associe à un point du cercle défini par son argument ;) (pris dans [0,2;)]), le point ;)/(2;)), fonction linéaire pour et continue pour toutes valeurs de ]0,2;)[.
reste donc à montrer qu'elle est aussi continue au point délicat pour un argment nul.
En ce point l'image de g est la classe {0,1} et l'ensemble des points à une distance inférieure à de cette classe sera X=[0;[U]1-,1]
Sur le cercle, l'arc ouvert ]-2;);-2;)[ aura bien pour image X
Tout cela est très (trop) simple une fois que l'on a vu ce qui se passe sur un schéma, il y a sans doute une moyen plus simple de le montrer mais il faudrait savoir quels théorèmes tu peux utiliser
Le fil est un peu long et parasité.
Si j'ai bien compris, tu cherches à prouver que f: I/~ -> C f(x)=exp(2;)ix)
est continue et ouverte.
Je crois que la continuité a été montrée, reste celle dans l'autre sens.
La fonction réciproque g associe à un point du cercle défini par son argument ;) (pris dans [0,2;)]), le point ;)/(2;)), fonction linéaire pour et continue pour toutes valeurs de ]0,2;)[.
reste donc à montrer qu'elle est aussi continue au point délicat pour un argment nul.
En ce point l'image de g est la classe {0,1} et l'ensemble des points à une distance inférieure à de cette classe sera X=[0;[U]1-,1]
Sur le cercle, l'arc ouvert ]-2;);-2;)[ aura bien pour image X
Tout cela est très (trop) simple une fois que l'on a vu ce qui se passe sur un schéma, il y a sans doute une moyen plus simple de le montrer mais il faudrait savoir quels théorèmes tu peux utiliser
par thomasg » 21 Oct 2007, 22:22
alben a écrit:g associe à un point du cercle défini par son argument(pris dans [0,2;)]),
Bonsoir,
je suis d'accord avec toi quand tu dis que le problème est trop simple. La question que je me pose (encore) et que je n'ai toujours pas eu le temps de traiter correctement se retrouve dans ton raisonnement:
le passage de e^(i*téta) à téta tel que tu le proposes pour ta fonction g est-il un homéomorphisme du cercle sur [0;2pi]/~.
Dans ta démo il me semble que tu montres simplement que [0;1]/~et [0;2pi]/~ sont homéomorphes.
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