Topologie

[minidiane]

Bonsoir je n'arrive pas à faire ces deux exercices:

1) M={1,2,3} construires 3 topologies gamma1, gamma2; gamma3 sur M tel que card gama_k=k où k =2,3,...
Dans chaque cas déterminer les parties fermées, puis l'adhérance et l'intérieur de A={2,3}

2) Soit I=[0,1] avec la topologie induite de R par la topologie usuelle de R. Relation d'équivalence x~y équivaut à x=y soit x=0, y=1.
Montrer que I/~ avec la topologie quotient est homéomorphe au cercle unitaire S^1={z appartenant à C tq |z|=1}

Pouvez-vous m'aider?
Merci

[ThSQ]

Je débute juste en topo mais un essai quand même.

1) si je comprends bien
. la seule topologie de cardinal 2 est {ø, M}
. une topo de card 3 est par ex. {ø, {1}, M}
. une topo de card 4 est par ex. {ø, {1}, {1,2}, M}

Les parties fermées c'est les complémentaires, fastitieux mais facile.
adh(A) = M dans tous les cas
int(A) = ø dans tous les cas


2) La topologie fait reboucler I (comme un cercle) en faisant 0=1.
Intuitivement alors est un homéomorphisme

[minidiane]

Merci de m'aider
Je n'ai pas trop compris la phrase:Les parties fermées c'est les complémentaires et je n'ai pas compris pour la 2ème question peux-tu me réexpliquer cela stp
Merci

[thomasg]

Les parties fermées c'est les complémentaires et je n'ai pas compris pour la 2ème question peux-tu me réexpliquer cela stp
Merci

dans espace topo si U est un ouvert alors le complémentaire de U est un fermé.

Les fermés sont les complémentaires des ouverts (cela demande une démo, à voir dans les livres).

[Chimomo]

Attention : dans tes topologies de cardinaux 3 et 4, {1} est ouvert donc {2,3} est fermé, sont adhérence est donc égale à lui-même.

Pour ce qui est du fait que les fermés sont les complémentaires des ouverts, c'est très généralement la définition même qu'on prends des fermés, bien qu'il y en ai plusieurs équivalentes.

[minidiane]

ok pour les fermés

par contre la 2ème question j'ai toujours pas compris :marteau:

[minidiane]

J'ai encore une question sur les fermés et les ouverts je ne comprend pas pourquoi {1} est ouvert ici :marteau:

[thomasg]

. une topo de card 3 est par ex. {ø, {1}, M}
. une topo de card 4 est par ex. {ø, {1}, {1,2}, M}

Quand ThSQ te fait cette proposition pour les topo de card 3 et 4 (je n'ai pas vérifié que c'est bon, mais je pars du principe que ça l'est)

les deux ensembles qu'il te proposent sont les ensembles d'ouvert.
Se donner une topologie sur un ensemble: c'est par définition définir les ouverts.

{1} est dans les deux ensembles d'ouverts qu'il te propose, c'est donc un ouvert pour les deux topologies.

En espérant avoir répondu à ta dernière question, à bientôt.

[minidiane]

a oui je pense que j'ai compris merci thomasg maintenant la première question

[thomasg]

Pour la seconde question, considère la fonction f définie par

f(x)=exp(i*2*pi*x)

elle est bijective (c'est immédiat il me semble)

il reste à montrer qu'elle est continue.
Ce dernier point est je pense à détailler.

Si quelqu'un peut améliorer, finir ou modifier la démo, je suis intéressé.

Minidiane, dans le cas où tu obtiendrais un corrigé peux-tu en donner les grandes lignes ?

A bientôt. Zzzzzzzzzzzzz...

[Chimomo]

Attention, l'application n'est bijective que si on part de l'ensemble quotient (sinon 0 et 1 auraient la même image, c'est la raison pour laquelle on quotiente).

Ensuite, il ne faut pas seulement montrer qu'elle est continue, mais que c'est un homéomorphisme, c'est à dire qu'elle et sa réciproque sont continues. Ceci se fait sans peine en montrant que f induit une bijection entre les ouverts du quotient et les ouverts du cercle.

[minidiane]

Bonjour à tous
voilà ce que j'ai fait pour l'injectivité (je suis pas trop sur de ce que j'ai fait)

f(x1)=f(x2) équivaut à exp(2i*pi*x1)=exp(2i*pi*x2)
équivalent à ln(exp(2i*pi*x1))=ln(exp(2i*pi*x2))
équivalent à 2i*pi*x1=2i*pi*x2
et donc équivalent à x1=x2

Par contre pour la surjectivité je ne vois pas comment faire :marteau:

[thomasg]

soit z tq |z|=1 alors il existe t dans 0; 2pi tq z=eit
il existe donc xdans 0;1 tq t=2*pi*x
donc z=f(x)

ceci est simple,

la question que je me pose (et qui doit être triviale aussi) est que:

f est continue de R dans C, donc elle est continue dans les deux espace que l'on considère ici. Cela semble évident mais je n'ai pas le temps ici de l'écrire en terme d'ouvert.

Pour le fait que la réciproque soit continue: n'est-ce pas toujours le cas ?


A bientôt.

Ps: mes souvenirs sont loins ... c'est un peu déprimant.

[Chimomo]

Tu te demandes si la réciproque d'une bijection continue est toujours continue ?

La réponse est bien sur non, sinon la notion d'homéomorphisme serait de bien peut d'intérêt. Plus sérieusement, dans n'importe quel espace topologique muni de deux topologies comparables non équivalentes, l'identité est une bijection qui n'est continue que dans un sens.

Une bijection est un homéomorphisme si et seulement si elle induit une bijection entre les ouverts des espaces topologiques.

[minidiane]

vous pouvez me dire si ma façon de montrer l'injectivité est correct ou pas?
Et comment faire pour montrer la surjectivité svp
Merci

[Chimomo]

Quand tu montres l'injectivité, tu prends un logarithme ce que tu n'as pas le droit de faire avec des complexes !

Par contre, tu sais que exp(ia)=exp(ib) si et seulement si a = b mod (2*pi)

Donc tu peux en déduire l'injectivité.

D'autre part, tout complexe de module 1 peut s'écrire sous la forme exp(ix) avec x un réel entre 0 et 1, ce qui donne la surjectivité.

[minidiane]

a ok donc ici on a

f(x1)=f(x2) équivaut à exp(2i*pi*x1)=exp(2i*pi*x2)
équivaut à x1=x2[2pi]
c'est bien ça?

Pour la surjectivité je ne comprend pas très bien
j'ai f(x)=exp(2i*pi/x) et comme le module fait 1 on a x qui appartient à [0,1]
cest ça? ou j'ai rien compris

[ThSQ]

f(x1)=f(x2) équivaut à exp(2i*pi*x1)=exp(2i*pi*x2)
équivalent à ln(exp(2i*pi*x1))=ln(exp(2i*pi*x2))
équivalent à 2i*pi*x1=2i*pi*x2
et donc équivalent à x1=x2

Tu vis dangeureusement Diane !

[minidiane]

A bon pourquoi?

[Alpha]

Ben, disons que, un jour, tu risques d'entrer en collision avec plein de :ptdr: :lol4: