Topologie

par **minidiane** » 08 Oct 2007, 19:39

Bonjour je n'arrive pas à faire cet exercice pouvez-vous m'aider?svp merci

Si A et B sont deux ensembles bornés non vides de R, comparer avec supA, infA, supB, infB les nombres suivants:
i) sup(A+B)
ii) sup(AUB)
iii) sup(A inter B)
iv) inf (AUB)
v) inf(A inter B)

par **legeniedesalpages** » 08 Oct 2007, 19:49

Bonsoir pour la i), on a

pour le démontrer, n'hésite pas à faire des rappels sur les propriétés liées à la borne supérieur d'une partie réelle.

par **thomasg** » 08 Oct 2007, 19:49

Il semble évident que :

sup(A+B)>ou= à supA et supB

de même pour sup (AUB), non ?

suite au message du génie des alpages, peux-tu préciser la question.

On a également il me semble si A inter B est non vide on a

sup(A inter B)>ou= à inf A et inf B

mais si cela te pose problème, c'est certainement que je ne dois pas répondre correctement à la question.

par **minidiane** » 08 Oct 2007, 19:57

Je dois trouver les relations et les démontrer

par **minidiane** » 08 Oct 2007, 20:05

donc en fait pour i) on a une égalité

par **thomasg** » 08 Oct 2007, 20:10

Voici une démo, à vérifier (par legénie des alpages notamment svp)

il existe (xn) qui converge vers x=supA
il existe (yn) qui converge vers y=supB

soit zn=xn+yn, zn appartient à A+B et zn converge vers z=sup A + supB

Si il existe sup A+B=M>z alors il existe (mn) (suite d'éléments de A+B) qui converge vers Z, donc il existe un rang p pour lequel (mp)>z avec mp=a+b (avec a et b éléments de A et B respectivement) ce qui est impossible.

donc supA+B=supA+supB

par **legeniedesalpages** » 08 Oct 2007, 20:17

oui c'est vrai, en fait je me rappelais que

(avec l'autre inéglaité fausse, et j'ai trop vite fait l'analogie vraie, désolé.

par **legeniedesalpages** » 08 Oct 2007, 20:20

sup(A inter B)>ou= à inf A et inf B

Je dirais plutôt le contraire, vu que

et

.

Par exemple prend

et

.

par **legeniedesalpages** » 08 Oct 2007, 20:24

thomasg a écrit:Voici une démo, à vérifier (par legénie des alpages notamment svp)

il existe (xn) qui converge vers x=supA
il existe (yn) qui converge vers y=supB

soit zn=xn+yn, zn appartient à A+B et zn converge vers z=sup A + supB

Si il existe sup A+B=M>Z alors il existe (mn) qui converge vers Z, donc il existe un rang p pour lequel (mp)>z avec mp=a+b ce qui est impossible.

donc supA+B=supA+supB

C'est pas clair parce que tu ne précises pas dans quel ensemble sont les termes de la suite(par exemple x_n est une suite de A,...).
Je ne vois personnellement pas dans quoi sont les termes de la suite

, et a et b c'est quoi?

Si tu précises ce sera sûrement bon

par **legeniedesalpages** » 08 Oct 2007, 20:27

sup(A+B)>ou= à supA et supB

de même pour sup (AUB), non ?

Comment ça?

par **AngeBlanc** » 08 Oct 2007, 20:30

Si A et B sont deux ensembles bornés non vides de R, comparer avec supA, infA, supB, infB les nombres suivants:
i) sup(A+B)
ii) sup(AUB)
iii) sup(A inter B)

i) Sup (A+B) = sup(A) + sup(B)
En effet, sup(A) + sup(B) appartient à A+B.
De plus, on ne peut pas trouver x dans A et y dans B tel que x + y soit plus grand que sup(A) + sup(B) par définition du sup...
ii) Sup(AUB) <= Sup(Sup(A),Sup(B) donc :
Sup(AUB) <= |Sup(A)| + |Sup(B)|
iii) il est direct que Sup(A inter B) <= Sup (A)
et Sup(A inter B) <= Sup (B)
car A inter B inclus dans A et inclus dans B

par **AngeBlanc** » 08 Oct 2007, 20:35

Mouarf, les démos ne sont pas bonnes... On parle de sup et pas de max... Désolé... Arf. :dodo:

par **legeniedesalpages** » 08 Oct 2007, 20:36

Bonsoir Ange Blanc :lol2:,

pour la iii) je suppose que tu voulais dire:
[CENTER]Sup(A inter B) <= min(Sup (B),Sup(A))[/CENTER]

par **AngeBlanc** » 08 Oct 2007, 20:41

legeniedesalpages a écrit:Bonsoir Ange Blanc :lol2:,

pour la iii) je suppose que tu voulais dire:
[CENTER]Sup(A inter B) <= min(Sup (B),Sup(A))[/CENTER]

Oui. C'est une inégalité valable aussi.

par **klevia** » 08 Oct 2007, 20:54

Il me semble que sup(AUB)=max(sup A, sup B)
A C AUB => sup A<= sup AUB (1)

1)supposons sup A>sup B

cela signifie qu'il existe un intervalle
]sup A-EPsilon, sup A] inter B = ensemble vide
donc soit xn une suite d'élément de AUB convergeant vers sup (AUB)
il existe un rang N où pour tout n>n xn appartient à A
d'ou sup (AUB)<= sup A (2)

(1) et (2) sup AUB = sup A

2) si sup A=sup B=l

pour toute suite de AUB convergeant vers sup (AUB)

xn appartient à A ou B d'ou xn<= l d'ou lim xn<=l d'ou sup AUB<= l

ce qui termine la démo ... mais y'a surement plus simple

par **klevia** » 08 Oct 2007, 20:58

Pour sup (A inter B) on suppose evidemment que A inter B est non vide ...

par **minidiane** » 08 Oct 2007, 21:17

donc si j'ai bien compris on a sup(AUB)=max(supa,supB) et sup(A inter B)<=min(supB, supA) c'est bien ça?

par **klevia** » 08 Oct 2007, 21:27

oui je dirais ca...

par **minidiane** » 08 Oct 2007, 21:32

ok merci
par contre je ne vois pas trop comment démontrer cela :hum:
une ou deux petites indications seraient les bienvenues

par **klevia** » 08 Oct 2007, 21:39

pour la 1ère, je l'ai déja fait dans un post précédent
pour la 2nde
(A int B) C A => sup (A int B)<= sup A
(A int B) C B => sup (A int B)<= sup B

=> sup (A int B) <= min (sup A; sup B)

Topologie

Topologie

sup(AUB)...

precision

re

re

Qui est en ligne